# $\S$ 1 Upmath项目简介

[Upmath](i.upmath.me)是俄罗斯粒子物理学家Dr. Роман Парпалак主导完成的一个开源前端项目——一个基于Markdown+LaTeX的**在线编辑器**，见它的项目[Github主页](https://github.com/parpalak/upmath.me)。它可以实现在Web上显示复杂的**数学公式**及**图形**(比如**LaTeX Tikz所画的图**)的网页内容。



它是将Markdown文本与LaTeX数学表达式转换成HTML页面，并嵌入公式图像(**SVG格式**)。

## 项目功能架构梳理

| 项目组件                   | 技术栈与职责                                                                               |
| ---------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------ |
| 前端 (`upmath.me`)       | JavaScript + HTML/CSS 前端编辑器，处理 Markdown + LaTeX 转 HTML，并嵌入公式图像。使用 `grunt` 构建流程。      |
| 后端渲染服务 (`i.upmath.me`) | PHP + TeX Live + nginx + Node.js + Grunt + SVG 工具链：渲染公式为 SVG，并提供 API 服务给前端调用。        |
| 图像渲染方式                 | 使用 TeX Live 和工具链（如 `dvisvgm`）将 LaTeX 公式渲染为 SVG 矢量图，支持复杂图形（如 TikZ）。([i.upmath.me][1]) |

[1]: https://i.upmath.me/?utm_source=chatgpt.com "LaTeX equations for web - Upmath"


## 使用流程梳理

1. 用户在前端编辑器中输入 Markdown 文本及 LaTeX 公式。

2. 编辑器将 Markdown 转为 HTML。LaTeX 公式部分则使用 <script src="//i.upmath.me/latex.js"></script> 的方式，调用后端渲染服务。

3. 后端服务渲染 LaTeX 为 SVG 图片，返回给前端展示。

4. 最终用户在浏览器中看到的是 HTML 页面嵌入的 SVG 数学公式，可复制、分享或发布。

## 技术优势

1. 双模块架构：清晰分离编辑与渲染职责，前端专注编辑与呈现，后端专注渲染服务。

2. 技术栈丰富：前端为 JavaScript + Grunt 构建，后端融合 TeX、PHP、SVG 渲染工具，也支持 Docker 部署，便于复现环境。

3. 灵活应用：可嵌入到博客、论坛等任何支持 HTML 的平台，只需贴入一段脚本即可动态渲染数学内容。

# $\S$ 2 部署步骤

## 1. 准备VPS环境+域名

在VPS购买的网站购买一个按需要求的VPS，并且获得了公网IPv4：<你的IP地址>，我们这里使用的Debian 12发行版。 需要

- nginx（带 Lua 模块）
- php-fpm
- nodejs + grunt
- TeX Live（完整安装）
- ghostscript
- dvisvgm
- docker

在Debian上我们运行

```Terminal
sudo apt update
sudo apt install -y nginx php-fpm nodejs npm yarn git \
                   texlive-full ghostscript dvisvgm
```
然后安装Docker：

安装必要工具
```Terminal
sudo apt install -y ca-certificates curl gnupg lsb-release
```
添加 Docker 官方 GPG key
```Terminal
sudo mkdir -p /etc/apt/keyrings
curl -fsSL https://download.docker.com/linux/$(. /etc/os-release; echo "$ID")/gpg | sudo gpg --dearmor -o /etc/apt/keyrings/docker.gpg
```
添加 Docker 官方 apt 源
```Terminal
echo \
  "deb [arch=$(dpkg --print-architecture) signed-by=/etc/apt/keyrings/docker.gpg] https://download.docker.com/linux/$(. /etc/os-release; echo "$ID") \
  $(lsb_release -cs) stable" | sudo tee /etc/apt/sources.list.d/docker.list > /dev/null
```
安装 Docker 引擎
```Terminal
sudo apt update
sudo apt install -y docker-ce docker-ce-cli containerd.io
```
测试
```Terminal
sudo docker run hello-world
```
这样我们就准备好了基本的VPS环境，为了实现后面的域名访问，可以在一些域名购买网站上购买一个域名：<你的域名>。

## 2. 修改源码

我们之所以选择源码部署，而不直接选择官方Docker部署的原因是因为我们需要在编辑器有使用中文的需求，需要对源代码进行一定改动。

首先，我们从Github下载源码
```Terminal
git clone https://github.com/parpalak/upmath.me.git
```
并进入源码所在的文件夹
```Terminal
cd i.upmath.me
```
进入i.upmath.me项目源码文件夹下的tpl文件夹
```Terminal
cd tpl
```
tpl文件夹里面有三个文件，可以通过ls查看
```Terminal
ls
```
我们需要更改document.php这个文件，选择你喜欢的文本编辑器来编辑document.php

```PHP
<?php

/** @var bool $hasDvisvgmOption */
/** @var string $documentContent */
/** @var \S2\Tex\Tpl\PackageCollection $extraPackages */

/**
 * \documentclass[11pt,dvisvgm]{standalone}
 * %\usepackage[paperwidth=180in,paperheight=180in]{geometry}
 * \usepackage[paperwidth=180in, paperheight=180in,margin=0in]{geometry}
 * %\usepackage[a4paper, total={6in, 8in}]{geometry}
 * \standaloneconfig{crop=false}
 */

?>
\documentclass[11pt<?php if ($hasDvisvgmOption) { ?>,dvisvgm<?php } ?>]{article}
\usepackage[paperwidth=180in,paperheight=180in]{geometry}
\batchmode

% 注意我们添加了这两行
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{CJKutf8}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}

% Conditional definitions
\providecommand{\tg}{\operatorname{tg}}
\providecommand{\ctg}{\operatorname{ctg}}
\providecommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}
\providecommand{\arcctg}{\operatorname{arcctg}}

\usepackage[verbose]{newunicodechar}

\newunicodechar{¬}{\ensuremath{\neg}}
\newunicodechar{Γ}{\ensuremath{\Gamma}}
\newunicodechar{γ}{\ensuremath{\gamma}}
\newunicodechar{λ}{\ensuremath{\lambda}}
\newunicodechar{φ}{\ensuremath{\varphi}}
\newunicodechar{ψ}{\ensuremath{\psi}}
\newunicodechar{ϕ}{\ensuremath{\varphi}}
\newunicodechar{ᵢ}{\ensuremath{{}_{i}}}
\newunicodechar{₀}{\ensuremath{{}_{0}}}
\newunicodechar{₁}{\ensuremath{{}_{1}}}
\newunicodechar{₂}{\ensuremath{{}_{2}}}
\newunicodechar{₃}{\ensuremath{{}_{3}}}
\newunicodechar{₄}{\ensuremath{{}_{4}}}
\newunicodechar{₅}{\ensuremath{{}_{5}}}
\newunicodechar{₆}{\ensuremath{{}_{6}}}
\newunicodechar{₇}{\ensuremath{{}_{7}}}
\newunicodechar{₈}{\ensuremath{{}_{8}}}
\newunicodechar{₉}{\ensuremath{{}_{9}}}
\newunicodechar{ₙ}{\ensuremath{{}_{n}}}
\newunicodechar{ℓ}{\ensuremath{\ell}}
\newunicodechar{→}{\ensuremath{\rightarrow}}
\newunicodechar{⇒}{\ensuremath{\supset}}
\newunicodechar{⇔}{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
\newunicodechar{∅}{\ensuremath{\emptyset}}
\newunicodechar{∈}{\ensuremath{\in}}
\newunicodechar{∘}{\ensuremath{\circ}}
\newunicodechar{∙}{\ensuremath{\bullet}}
\newunicodechar{∧}{\ensuremath{\wedge}}
\newunicodechar{∨}{\ensuremath{\vee}}
\newunicodechar{∼}{\ensuremath{\sim}}
\newunicodechar{≠}{\ensuremath{\neq}}
\newunicodechar{≡}{\ensuremath{\equiv}}
\newunicodechar{⊃}{\ensuremath{\supset}}
\newunicodechar{⊕}{\ensuremath{\oplus}}
\newunicodechar{⊖}{\ensuremath{\ominus}}
\newunicodechar{⊢}{\ensuremath{\vdash}}
\newunicodechar{⊤}{\ensuremath{\top}}
\newunicodechar{⊥}{\ensuremath{\bot}}
\newunicodechar{⊻}{\ensuremath{\veebar}}
\newunicodechar{⟝}{\ensuremath{\vdash}}
\newunicodechar{⬓}{\ensuremath{\square}}
\newunicodechar{Σ}{\ensuremath{\sum}}
\newunicodechar{Π}{\ensuremath{\prod}}
\newunicodechar{ⱼ}{\ensuremath{{}_{j}}}

<?php

echo $extraPackages->getCode();

?>

\pagestyle{empty}

\setlength{\topskip}{0pt}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{0pt}

\begin{document}
\begin{CJK}{UTF8}{gbsn} % 注意我们添加了这一行
<?php
foreach (['newwrite', 'openout'] as $disabledCommand) {
        echo '\\renewcommand{\\' . $disabledCommand . '}{\\errmessage{Command \\noexpand\\' . $disabledCommand . ' is disabled}}', "\n";
}
?>
<?php echo $documentContent; ?>
\end{CJK}% 注意我们添加了这一行
\end{document}
```
请注意在原来代码中，我们添加了4行，为了尽量减少修改，我们仍然使用pdfLaTeX编译，因此，我们增加了对CJK包的支持
```
...
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{CJKutf8}
...
```
注：如果你需要更多LaTeX的包的支持，就可以在这里的后面添加\usepackage{<你需要的LaTeX包>}

并在\begin{document}和\end{document}之内，添加了CJK的使用，UTF8是文本格式，而gbsn是宋体（你可以按需更改）
```
...
\begin{document}
\begin{CJK}{UTF8}{gbsn} % 注意我们添加了这一行

...

\end{CJK}% 注意我们添加了这一行
\end{document}
```
保存并退出，这样我们就完成了这个包的修改。回到上一级i.upmath.me/
```Terminal
cd ..
```
为了保证有中文字体的支持，我们在生成Docker容器前写一个Dockerfile，使用你喜欢的编辑器
```Terminal
nano Dockerfile
```
并在其中输入
```Dockerfile
FROM ghcr.io/parpalak/upmath-texlive-docker:2025.0.1

EXPOSE 80

WORKDIR /var/www/i.upmath.me

RUN apt-get update && apt-get install -y --no-install-recommends \
    fonts-noto-cjk \
    latex-cjk-all \
    && rm -rf /var/lib/apt/lists/*

RUN apt-get update && apt-get -y --no-install-recommends install \
    nginx-extras lua-zlib \
    zip unzip \
    php8.2-fpm \
    php8.2-curl \
    php8.2-xml \
    php8.2-gd \
    composer \
    librsvg2-bin \
    optipng \
    supervisor \
    curl gnupg && \
    mkdir -p /etc/apt/keyrings && \
    curl -fsSL https://deb.nodesource.com/gpgkey/nodesource-repo.gpg.key | gpg --dearmor -o /etc/apt/keyrings/nodesource.gpg && \
    echo "deb [signed-by=/etc/apt/keyrings/nodesource.gpg] https://deb.nodesource.com/node_20.x nodistro main" | tee /etc/apt/sources.list.d/nodesource.list && \
    apt-get update && \
    apt-get install -y nodejs && \
    apt-get remove -y curl gnupg && \
    apt-get autoremove -y && \
    apt-get clean && \
    rm -rf /var/lib/apt/lists/* && \
    rm -rf /var/cache/apt/

COPY . .

RUN mkdir -p logs
RUN composer install --no-dev

RUN npm install -g yarn grunt-cli && \
    yarn install && \
    grunt && \
    yarn install --prod && \
    npm uninstall -g yarn grunt-cli

RUN mkdir -p /var/run/php-fpm/

RUN cp config.php.dist config.php  \
    && tlversion=$(cat /usr/local/texlive/20*/release-texlive.txt | head -n 1 | awk '{ print $5 }') \
    && sed -i "s/\${tlversion}/${tlversion}/g" config.php
RUN cp docker/nginx.conf /etc/nginx/nginx.conf
RUN cp docker/www.conf /etc/php/8.2/fpm/pool.d/www.conf && \
    cp docker/www-tex.conf /etc/php/8.2/fpm/pool.d/www-tex.conf

RUN cp docker/superv.conf /etc/superv.conf

ENTRYPOINT [ "/var/www/i.upmath.me/docker/entrypoint.sh" ]
```
保存并退出即可。

## 3. 生成并运行Docker容器

在Terminal中运行
```Terminal
docker build -t upmath .
```
生成Docker容器，并且在8080端口运行Docker容器
```
docker run -d --name upmath -p 8080:80 upmath
```

## 4. 添加域名解析

打开购买域名的网站，在<你的域名>中添加两条域名解析

<table class="tg"><thead>
  <tr>
    <th class="tg-0pky">主机记录</th>
    <th class="tg-0pky">记录类型</th>
    <th class="tg-0pky">线路类型</th>
    <th class="tg-0pky">记录值</th>
    <th class="tg-0pky">TTL</th>
  </tr></thead>
<tbody>
  <tr>
    <td class="tg-0pky">www</td>
    <td class="tg-0pky">A</td>
    <td class="tg-0pky">默认</td>
    <td class="tg-0pky">&lt;你的IP地址&gt;</td>
    <td class="tg-0pky">600</td>
  </tr>
  <tr>
    <td class="tg-0pky">@</td>
    <td class="tg-0pky">A</td>
    <td class="tg-0pky">默认</td>
    <td class="tg-0pky">&lt;你的IP地址&gt;</td>
    <td class="tg-0pky">600</td>
  </tr>
</tbody></table>

## 5. Nginx反代

编辑/etc/nginx/sites-available/下的default文件
```Terminal
nano /etc/nginx/sites-available/default
```
在default最后添加
```
server {
    server_name <你的域名> www.<你的域名>;

    # 所有请求反代到内部服务 <你的IP地址>:8080
    location / {
        proxy_pass http://<你的IP地址>:8080;
        proxy_set_header Host $host;
        proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr;
        proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for;
        proxy_set_header X-Forwarded-Proto $scheme;
    }

    listen 443 ssl; # managed by Certbot
    ssl_certificate /etc/letsencrypt/live/<你的域名>/fullchain.pem; # managed by Certbot
    ssl_certificate_key /etc/letsencrypt/live/<你的域名>/privkey.pem; # managed by Certbot
    include /etc/letsencrypt/options-ssl-nginx.conf; # managed by Certbot
    ssl_dhparam /etc/letsencrypt/ssl-dhparams.pem; # managed by Certbot


}

server {
    if ($host = www.<你的域名>) {
        return 301 https://$host$request_uri;
    } # managed by Certbot


    if ($host = <你的域名>) {
        return 301 https://$host$request_uri;
    } # managed by Certbot


    listen 80;
    server_name <你的域名> www.<你的域名>;
    return 404; # managed by Certbot
}
```
注意替换所有的<你的IP地址>和<你的域名>为你所使用VPS的IPv4地址和你的域名。

测试Nginx配置
```Terminal
sudo nginx -t
```
确保没有报错，那么重启Nginx
```Terminal
sudo systemctl reload nginx
```
为了开启HTTPS，我们需要安装Certbot
```Terminal
sudo apt install certbot python3-certbot-nginx -y
```
并且申请证书并自动修改Nginx
```Terminal
sudo certbot --nginx -d <你的域名> -d www.<你的域名>
```
完成后, Nginx会自动生成443端口的配置，HTTP自动跳转到HTTPS。

这样你就可以通过<你的域名>访问搭建好的Upmath服务了！它还支持中文！大功告成！

当然也欢迎使用我目前搭建好的Upmath服务：[https://xumin.net](https://xumin.net)

在线LaTeX方案(Upmath)网站搭建

假设我们现在有域名<你的域名>，我们可以使用DNS提供商（以Cloudflare为例）的API定期更新IPv6。




1. DNS添加AAAA记录(指向你的IPv6)

登录[https://dash.cloudflare.com](https://dash.cloudflare.com)，在Cloudflare中加入域，并将你的域名的DNS解析服务器（你购买域名的服务商）替换成Cloudflare的DNS服务器，在该域名的DNS管理后台添加记录：
```
类型      名称     IPv6地址       代理状态     TTL
AAAA     www      <随便填一个>    仅DNS       2分钟
```
并在dash页面的该域名下的概述界面的右下角，获取您的API令牌，并在此处记住你的域名的区域ID（ZONE ID）。

2. 安装DDNS脚本
安装必要的软件（Debian系下）：
```
sudo apt install curl jq
```
创建一个如下脚本`/usr/local/bin/ddns-ipv6.sh`，注意修改配置部分的内容:
```Shell
#!/bin/bash

LOGFILE="/var/log/ddns-ipv6.log"
LAST_IP_FILE="/var/tmp/last_ipv6.txt"

touch $LOGFILE
chmod 644 $LOGFILE

echo "=== $(date) Starting DDNS update ===" >> $LOGFILE

# 配置部分
CF_API_TOKEN="<你的Cloudflare API Token>"
CF_ZONE_ID="<你的Zone ID>"
RECORD_NAME="<你的域名>"
NET_INTERFACE="enp0s31f6"  # 改为你的实际网卡名
TTL=120

# 日志函数
log() {
    echo "[$(date '+%Y-%m-%d %H:%M:%S')] $1" | tee -a $LOGFILE
}

# 尝试多种方法获取可靠的公网IPv6
get_ipv6() {
    local ip_system=$(ip -6 addr show dev $NET_INTERFACE scope global \
        | grep -E 'global (dynamic|mngtmpaddr|temporary|permanent)' \
        | awk '/inet6/{print $2}' | cut -d'/' -f1 | head -1)

    local ip_api=$(curl -6 --connect-timeout 5 -s https://api64.ipify.org || \
                   curl -6 --connect-timeout 5 -s https://ipv6.icanhazip.com)

    [ -n "$ip_system" ] && echo $ip_system || echo $ip_api
}

# 获取当前IPv6
IP=$(get_ipv6)

if [ -z "$IP" ]; then
    log "错误：无法获取有效的IPv6地址"
    exit 1
fi

log "检测到的IPv6地址: $IP"

# 读取上一次的IP
if [ -f "$LAST_IP_FILE" ]; then
    LAST_IP=$(cat "$LAST_IP_FILE")
    if [ "$IP" = "$LAST_IP" ]; then
        log "IPv6地址未变化，无需更新 ($IP)"
        echo "=== $(date) Finished DDNS update ===" >> $LOGFILE
        exit 0
    else
        log "检测到IPv6已变化: $LAST_IP → $IP"
    fi
else
    log "首次运行，未检测到历史IP"
fi

# 获取记录ID
RESPONSE=$(curl -s -X GET "https://api.cloudflare.com/client/v4/zones/$CF_ZONE_ID/dns_records?type=AAAA&name=$RECORD_NAME" \
    -H "Authorization: Bearer $CF_API_TOKEN" \
    -H "Content-Type: application/json")

SUCCESS=$(echo "$RESPONSE" | jq -r '.success')
if [ "$SUCCESS" != "true" ]; then
    ERRORS=$(echo "$RESPONSE" | jq -r '.errors[]?.message')
    log "错误：获取记录ID失败 - $ERRORS"
    exit 1
fi

RECORD_ID=$(echo "$RESPONSE" | jq -r '.result[0].id')

if [ -z "$RECORD_ID" ] || [ "$RECORD_ID" = "null" ]; then
    log "错误：未找到记录 $RECORD_NAME，请先在Cloudflare创建此AAAA记录"
    exit 1
fi

log "找到记录ID: $RECORD_ID"

# 更新DNS记录
UPDATE_RESPONSE=$(curl -s -X PUT "https://api.cloudflare.com/client/v4/zones/$CF_ZONE_ID/dns_records/$RECORD_ID" \
    -H "Authorization: Bearer $CF_API_TOKEN" \
    -H "Content-Type: application/json" \
    --data "{\"type\":\"AAAA\",\"name\":\"$RECORD_NAME\",\"content\":\"$IP\",\"ttl\":$TTL,\"proxied\":false}")

UPDATE_SUCCESS=$(echo "$UPDATE_RESPONSE" | jq -r '.success')
if [ "$UPDATE_SUCCESS" = "true" ]; then
    NEW_CONTENT=$(echo "$UPDATE_RESPONSE" | jq -r '.result.content')
    log "成功更新记录! $RECORD_NAME → $NEW_CONTENT"
    echo "$IP" > "$LAST_IP_FILE"   # 保存新IP
else
    ERRORS=$(echo "$UPDATE_RESPONSE" | jq -r '.errors[]?.message')
    log "错误：更新记录失败 - $ERRORS"
    exit 1
fi

echo "=== $(date) Finished DDNS update ===" >> $LOGFILE
```
并添加权限
```
chmod +x /usr/local/bin/ddns-ipv6.sh
```

3. 使用crontab定时任务自动更新
```
crontab -e
```
加入
```
*/5 * * * * /usr/local/bin/ddns-ipv6.sh >/var/log/ddns-ipv6.log 2>&1
```
这样每5分钟检测一次IPv6变化并更新DNS。

DDNS配置IPv6

# 张量积 II

## 1. 简介

继续研究张量乘积，我们将看到如何把两个线性映射 $M \rightarrow M^{\prime}$ 和 $N \rightarrow N^{\prime}$ 结合成一个线性映射$M \otimes_{R} N \rightarrow M^{\prime} \otimes_{R} N^{\prime}$。这就引出了平坦模块和基扩张之间的线性映射。然后，我们将研究向量空间的张量积（包括缩并）的特殊性，$R$-代数的张量积以及最后的$R$-模的张量代数。



## 2. 线性映射中的张量积

## 3. 平坦模

## 4. 线性映射和基扩张的张量积

## 5. 向量空间

## 6. 张量缩并

## 7. $R$-代数的张量积

## 8. $R$-模的张量代数

张量积 II

张量积 I

# Appendix
## A.1 Matrix Inversion
**Exercise A.1.1** Using the Method described above, show that
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
2 & -5 & 4\\
-1 & 3 & -2
\end{pmatrix}
$$
and
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
4 & 1 & 2\\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{12}
\begin{pmatrix}
-4 & 5 & 1\\
8 & -4 & -8\\
4 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$$

**Solution.** (1) For given matrix
$$
M = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
Define the row vectors:
$$
\mathbf{A} = (2, 1, 3),\quad \mathbf{B} = (0, 1, 2),\quad \mathbf{C} = (-1, 1, 1)
$$
Compute the reciprocal vectors
$$
\begin{align*}
\mathbf{A}_R &= \mathbf{B} \times \mathbf{C} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) \\
&= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(1) = (-1, -2, 1)
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathbf{B}_R &= \mathbf{C} \times \mathbf{A} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \\
&= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(-3) = (2, 5, -3)
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathbf{C}_R &= \mathbf{A} \times \mathbf{B} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) \\
&= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(2) = (-1, -4, 2)
\end{align*}
$$
Construct the cofactor matrix
$$
\overline{M} = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & -1 \\
-2 & 5 & -4 \\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix}
$$
Compute the determinant
$$
\begin{align*}
\det M &= \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \\
&= \begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix} \\
&= 2(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + 3(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) \\
&= 2(-1) - 1(2) + 3(1) = -2 - 2 + 3 = -1
\end{align*}
$$
The inverse matrix is
$$
M^{-1} = \frac{\overline{M}}{\det M} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}
-1 & 2 & -1 \\
-2 & 5 & -4 \\
1 & -3 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
2 & -5 & 4 \\
-1 & 3 & -2
\end{pmatrix}
$$
(2) For given matrix
$$
M = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
$$
Define the row vectors as
$$
\mathbf{A} = (2, 1, 3),\quad \mathbf{B} = (4, 1, 2),\quad \mathbf{C} = (0, -1, 2)
$$
Compute the reciprocal vectors
$$
\begin{align*}
\mathbf{A}_R &= \mathbf{B} \times \mathbf{C} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
4 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(4 \cdot 2 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(4 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) \\
&= \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(-4) = (4, -8, -4)
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathbf{B}_R &= \mathbf{C} \times \mathbf{A} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}((-1) \cdot 3 - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) \\
&= \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(2) = (-5, 4, 2)
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathbf{C}_R &= \mathbf{A} \times \mathbf{B} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) \\
&= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(-2) = (-1, 8, -2)
\end{align*}
$$
Construct the cofactor matrix:
$$
\overline{M} = \begin{pmatrix}
4 & -5 & -1 \\
-8 & 4 & 8 \\
-4 & 2 & -2
\end{pmatrix}
$$
The determinant is
$$
\begin{align*}
\det M &= \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \\
&= \begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 2
\end{vmatrix} \\
&= 2(1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) - 1(4 \cdot 2 - 2 \cdot 0) + 3(4 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) \\
&= 2(4) - 1(8) + 3(-4) = 8 - 8 - 12 = -12
\end{align*}
$$
Inverse matrix is 
$$
M^{-1} = \frac{\overline{M}}{\det M} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix}
4 & -5 & -1 \\
-8 & 4 & 8 \\
-4 & 2 & -2
\end{pmatrix} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix}
-4 & 5 & 1 \\
8 & -4 & -8 \\
4 & -2 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
~\tag*{$\blacksquare$}
$$
## A.2 Gaussian Integrals
## A.3 Complex Numbers
## A.4 The $\mathrm{i}\varepsilon$ Prescription

§\S§ 1 Upmath项目简介

张量积 II

1. 简介

张量积 I

1. 简介

Appendix

A.1 Matrix Inversion

$\S$ 1 Upmath项目简介