# §2 子群
## §2.1 子群的定义
**定义 2.1** 令 $G$ 是一个群，并且 $H \subset G$。 $H$ 被称为是 $G$ 的一个**子群(subgroup)**，如果满足

(1) $\forall h_1, h_2 \in H$，$h_1 h_2 \in H$ 。(在乘法下封闭)

(2) $1_G \in H$ 。

(3) 如果 $h \in H$ ，则 $h^{-1} \in H$ 。



## §2.2 子群的例子
**例 2.1** $\mathbb{R}_{>0} \subset \mathbb{R}^{\times}$是一个子群。

证明: $\mathbb{R}_{>0}$ 是一个 $\mathbb{R}^{\times}$的一个子群，因为

(1) $\forall h_1, h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$, $h_1 h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(2) $1 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(3) 如果 $h \in \mathbb{R}_{>0}$，则 $h^{-1}=\frac{1}{h} \in \mathbb{R}_{>0}$ 。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 2.2** $\mathbb{Z}_{\geqslant 0} \subset(\mathbb{Z},+)$ 不是一个子群。

证明： $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群，因为不是所有元素 $z \in \mathbb{Z}$ 有一个逆。举例而言， $z=1$ ，它的逆应该是$-1$，但它不在 $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 中。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 2.3** $SL_n(\mathbb{R}):=\left\{M \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det M=1\right\} \subset GL_n(\mathbb{R})$ 是一个子群。

证明： $SL_n(\mathbb{R})$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群，因为

(1) $\forall M_1, M_2 \in SL_n(\mathbb{R}) ， M_1 M_2 \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为
$$
\det\left(M_1 M_2\right)=\det\left(M_1\right) \det\left(M_2\right)=1 \times 1=1 .
$$

(2) 单位矩阵 $1_{GL_n(\mathbb{R})} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(1_{GL_n(\mathbb{R})}\right)=1$ 。

(3) $\forall M \in SL_n(\mathbb{R})$ ，则 $M^{-1} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(M^{-1}\right)=\frac{1}{\det(M)}=1$ 。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 2.4** 令 $\mathbb{C}^{\times}:=\mathbb{C} \backslash\{0\}$ 。定义 $m$ 为复数乘法: $\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}^{\times}$，
$$
m\left(z_1, z_2\right)=z_1 \times z_2 .
$$
我们有

(a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群。

(b) 令
$$
S^1=\{z\mid | z |=1\} .
$$
则 $S^1 \subset \mathbb{C}^{\times}$是一个子群。

证明: (a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群，因为

(1) 复数乘法满足结合律。

(2) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}, 1 \times z=z \times 1=z$ 。

(3) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}$， 令 $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{\|z\|^2}$ 。

(b) $S^1$ 是 $\mathbb{C}^{\times}$的一个子群，因为

(1) $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1 \Rightarrow\left|z_1 \times z_2\right|=1$ ，所以 $S^1$ 在 $\times$ 下封闭。

(2) $|1|=1$ ，所以恒元在 $S^1$ 中。

(3) 如果 $|z|=1$ ，则 $|\bar{z}|=1$ ，并且 $z^{-1}=\bar{z}$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

§2 子群

# §0 简介
<table class="tg">
<thead>
  <tr><th class="tg-0pky">概念(名字)</th>
    <th class="tg-0pky">所有数字</th>
    <th class="tg-0pky">导数</th>
    <th class="tg-0pky">群</th>
    <th class="tg-0pky">环</th>
  </tr>
</thead>
<tbody>
  <tr>
    <td class="tg-0pky">这个概念解释了...?<br> (数学是一种表达思想的语言; <br>这些词语体现了什么思想呢？)</td>
    <td class="tg-0pky">计数,<br>数量</td>
    <td class="tg-0pky">变化率,<br>线性化</td>
    <td class="tg-0pky">对称性</td>
    <td class="tg-0pky">空间上的函数</td>
  </tr>
  <tr>
    <td class="tg-0pky">一些数学结果</td>
    <td class="tg-0pky"></td>
    <td class="tg-0pky"></td>
    <td class="tg-0pky" colspan="2">几何的"代数化" <br>(Descartes至今),<br>代数的"几何化"</td>
  </tr>
  <tr>
    <td class="tg-0pky">一些应用<br>(纯数之外)</td>
    <td class="tg-0pky"></td>
    <td class="tg-0pky"></td>
    <td class="tg-0pky" colspan="2">Nöther定理(物理)<br>RSA算法(密码学)<br>逻辑电路作为"余层"<br>数据集的同调形状, 等等</td>
  </tr>
</tbody>
</table>



# §1 群
## §1.1 群

考虑某个对象 $X$ 。

**什么是 $X$ 的一个对称性呢?**

通常来说，我们对于这个对象 $X$ 会有一些关于**结构**的前置印象 (形状，距离，线性等等，比如说圆、三角、方块儿，再比如说度量，抑或是向量空间$V$等等) 。


![shape](https://i.upmath.me/svg/%5Cusetikzlibrary%7Bsnakes%7D%0A%5Cbegin%7Btikzpicture%7D%0A%5Cdraw%20(0%2C0)%20circle%20(1)%3B%0A%5Cdraw%20(2%2C-1)--(4%2C-1)--(3%2C1)--(2%2C-1)%3B%0A%5Cdraw%20(5%2C-1)--(7%2C-1)--(7%2C1)--(5%2C1)--(5%2C-1)%3B%0A%5Cdraw%20%5B%0A%20%20%20%20decoration%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20brace%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mirror%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20raise%3D0.3cm%0A%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20decorate%0A%5D%20(-1%2C-1)%20--%20(7%2C-1)%20%0Anode%20%5Bpos%3D0.5%2Canchor%3Dnorth%2Cyshift%3D-0.35cm%5D%20%7Bshapes%7D%3B%0A%5Cdraw%20(8%2C1)--(9%2C-1)node%5Bbelow%5D%7Bvector%20space%7D--(10%2C1)%3B%20%0A%5Cend%7Btikzpicture%7D)

$X$ 的一个对称性应该是一个映射(为什么是一个从 $X$ 到 $X$ 的映射呢? 因为我们是对 $X$ 进行了变换操作，而 $X$ 本身并没变)
$$
\phi: X \rightarrow X
$$

满足
1. 保持结构，比如 $\operatorname{dist}(x, y)=\operatorname{dist}(\phi(x), \phi(y))$ ，再比如 $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ ，并且
2. 可以撤销这一操作。

现在，我们首先来尝试一般性地瞅瞅这玩意儿咋回事，以给我们一点启发:

令 $G=\{\phi\}$ 是 $X$ 的对称性的集合。
1. 如果 $\phi_1, \phi_2$ 保持结构，则它们的复合 $\phi_1 \circ \phi_2, \phi_2 \circ \phi_1$ 也保持。 $\Rightarrow$ 我们可以分解 $G$ 的元素 $\Rightarrow$ $G \times G \xrightarrow{m} G$ ，结合性；
2. “什么都不做”应该也是 $X$ 的一个对称性。 $\Rightarrow \mathrm{id}_X \in G ， \operatorname{id}_X \circ \phi=\phi \circ \mathrm{id}_X=\phi$;
3. 因为 $\phi$ 可以撤销，我们应该有 $\phi^{-1} \in G$ ，所以 $\phi \circ \phi^{-1}=\mathrm{id}_X$， $\phi^{-1} \circ \phi=\mathrm{id}_X$ 。

这样通过最一般的映射来看是不是群的定义马上就呼之欲出呢?

### §1.1.1 群的定义

**定义 1.1** 一个**群 (group)** 是一个有序对
$$
(G, m)
$$
其中 $G$ 是一个集合，而 $m$ 是一个映射
$$
\begin{aligned}
& G \times G \rightarrow G \\
& \begin{aligned}
\left(g_1, g_2\right) \mapsto m\left(g_1, g_2\right) & =: g_1 \cdot g_2 \\
& =: g_1 g_2
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
使得
1. $m$ 满足结合律，i.e.
$$
m\left(m\left(g_1, g_2\right), g_3\right)=m\left(g_1, m\left(g_2, g_3\right)\right)
$$
i.e. $\left(g_1 \cdot g_2\right) \cdot g_3=g_1 \cdot\left(g_2 \cdot g_3\right)$ 或 $\left(g_1 g_2\right) g_3=g_1\left(g_2 g_3\right)$ ；

2. $\exists$一个元素$1_G \in G$ ，称为**恒元(identity)**，使得
$$
m\left(1_G, g\right)=g=m\left(g, 1_G\right)
$$
i.e. $1_G \cdot g=g=g \cdot 1_G$ 或 $1_G g=g=g 1_G$ ；

3. $\forall g \in G ， \exists$ 元素 $h \in G$ 使得
$$
m(g, h)=1_G=m(h, g)
$$
i.e. $g \cdot h=1_G=h \cdot g$ 或 $g h=1_G=h g$ ，我们经常记 $g^{-1}:=h$ ，称为 " $g$ 的**逆 (inverse)**" 。

### §1.1.2 群的例子

**例 1.1** 令
$$
G=\{\ldots,-1,0,1, \ldots\}=: \mathbb{Z}
$$
为整数的集合。定义
$$
G \times G \xrightarrow{m} G
$$
为
$$
m(g, h)=g+h
$$
(i.e. 整数加法)

比如，我们有
$$
m(-2,3)=1
$$
则 $(G, m)$ 是一个群。

证明: $(\mathbb{Z},+)$ 是一个群，因为
(1) $m$ 满足结合律，即:
$$
(g+h)+k=g+(h+k)
$$
(2) $0=1_G$ 是恒元，即:
$$
\begin{aligned}
& m(0, g)=0+g=g \\
& m(g, 0)=g+0=g
\end{aligned}
$$
(3) 每个元素都有一个逆元素:
$$
m(g,-g)=g+(-g)=0
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 1.2** 令
$$
G=\{\ldots,-1,0,1, \ldots\}=: \mathbb{Z}
$$
为整数的集合。并且令
$$
\begin{aligned}
m: G \times G & \rightarrow G \\
(a, b) & \mapsto a \times b
\end{aligned}
$$
举例
$$
(2,3) \rightarrow 6
$$
我们有 $(G, m)$ 不是群。

证明: $(\mathbb{Z}, \times)$ 不是群，因为不是所有元素 $z \in \mathbb{Z}$ 都有逆元素。举例而言， $z=2$ ，它的逆元素应该是 $\frac{1}{2}$ ，但不在 $\mathbb{Z}$ 中。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

上面的两个例子

$(\mathbb{Z},+)$ 是群。

$(\mathbb{Z}, \times)$ 不是群。

说明了知道 $m$ 很重要。无论如何，我们经常会缩写，比如说 "令 $G$ 是一个群"，省略提及 $m$ 。

**例 1.3** 令 $G=\mathbb{R} \backslash\{0\}$ (去掉 0 的实数的集合)。令
$$
\begin{aligned}
m: G \times G & \rightarrow G \\
(a, b) & \mapsto a \times b
\end{aligned}
$$
则 $G$ 是一个群。我们从现在起记为 $\mathbb{R}^{\times}$。

证明: $\mathbb{R}^{\times}$是群，因为

(1) 实数乘法满足结合律。

(2) 数字 1 是恒元。

(3) $\forall g \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ ，存在一个 $\frac{1}{g}$ ，使得 $g \frac{1}{g}=\frac{1}{g} g=1$ 。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

### §1.1.3 群的性质

**命题 3.1 (消去律)** 令 $G$ 是一个群，并且 $g, h, k \in G$ 。假设
$$
g h=g k \text{.}
$$
则
$$
h=k \text{.}
$$

类似地，我们有
$$
h g=k g \quad \Rightarrow \quad h=k
$$

证明： $\exists g^{-1}$ ，使得 $g^{-1} g=1_G$
$$
\begin{aligned}
g h=g k & \Rightarrow g^{-1}(g h)=g^{-1}(g k) \\
& \Rightarrow\left(g^{-1} g\right) h=\left(g^{-1} g\right) k \\
& \Rightarrow 1_G h=1_G k \\
& \Rightarrow h=k
\end{aligned}
$$

我们运用了作为一个群的所有公理!
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**评论:** 消去律对于矩阵乘法不成立，除非 $g, h, k$ 是可逆的，比如 $g=0$ ?

**命题 3.2 (恒元的唯一性)** 群 $G$ 的恒元是唯一的。（即：如果两个元素 $1_G$ 和 $1_G^{\prime}$ 满足定义的恒元的性质，则 $1_G=1_G^{\prime}$ 。)

证明: 如果 $1_G$ 是恒元，则它必须满足方程: 对于任何 $g \in G$ ，
$$
1_{G}g=g1_{G}=g
$$

特别地，如果 $1_G^{\prime}=g$ ，我们必须有
$$
1_G 1_G^{\prime}=1_G^{\prime} .
$$

另一方面，如果 $1_G^{\prime}$ 也是恒元，我们必须有
$$
1_G 1_G^{\prime}=1_G .
$$

根据传递性，我们有
$$
1_G=1_G^{\prime} .
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**命题 3.3 (逆元的唯一性)** 对于任意元素 $g \in G$ ，它的逆 $g^{-1}$ 是唯一的。(即：给定元素 $h$ ， $h^{\prime}$ 满足定义的 $g^{-1}$ 的性质，则 $h=h^{\prime}$ 。)

证明：假设 $h$ 和 $h^{\prime}$ 都是 $g$ 的逆。则
$$
g h^{\prime}=1_G .
$$

通过在等式两边都左乘 $h$ ，我们得到
$$
h\left(g h^{\prime}\right)=h .
$$

但是根据结合律，等号左边变成
$$
(h g) h^{\prime}=1_G h^{\prime}=h^{\prime} .
$$

通过等号的传递性，我们有
$$
h^{\prime}=h .
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §1.2 Abel群

**例 1.4** 令 $n \geqslant 1$ 和 $n \in \mathbb{Z}$ 。那么
$$
G=GL_n(\mathbb{R}):=\{n \times n \text{实矩阵} M \mid \det M \neq 0\}
$$
是群，其中
$$
m: G \times G \rightarrow G
$$

通过矩阵乘法给出（这也说明一般情况下 $g h \neq h g$ ）。

证明： $GL_n(\mathbb{R})$ 是群，因为

(1) 矩阵乘法满足结合律。

(2) 单位矩阵是恒元。

(3) $\operatorname{det}(g) \neq 0 \Rightarrow g$ 是可逆的。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

由于矩阵的乘法不满足交换律， 这说明一般情况下，$gh\neq hg$! 那么如果群乘法是可交换的呢？ 我们有下面的定义:

**定义 1.2** 群$G$被称为**Abel群(abelian group)**, 如果对于所有$g_{1}, g_{2}\in G$, 我们有$g_{1}g_{2}=g_{2}g_{1}$。

**定义 1.3** 群乘法对于不是所有元素都满足交换律的群叫**非Abel群(non-abelian groups)**。

## §1.3 循环群
尽管Abel群通过交换性提供了有用的结构，但某些Abel群甚至更为简单。如果我们可以用一个单独的元素生成整个群呢？这就引出了循环群的概念，循环群是Abel群中最基本的例子之一。

循环群的特殊之处在于它将整个群的结构简化为某个元素的幂或倍数，这个元素称为生成元。这种简单性使得循环群在群论中成为一个重要的构建块，同时也是解决更复杂问题的关键工具。

**定义 1.4** 当且仅当存在一个元素 $g\in G$，称为**生成元(generator)**，使得 $G$ 中的每一个元素都可以表示为 $g$ 的幂时，群 $G$ 被称为**循环群(cyclic group)**。
$$
G=\langle g\rangle:=\{g^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}
$$

**例 1.5 (整数在加法下构成的群)**
群 $(\mathbb{Z},+)$ 是一个以 $1$ 为生成元的循环群：
$$
\langle 1\rangle=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}
$$

**例 1.6 (模运算群)**
在模 $n$ 的加法下，群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0,1,\ldots,n\}$ 是一个循环群。元素 $1$ 生成整个群：
$$
\langle 1\rangle=\{1,2,\ldots,n-1,0\}
$$

**命题 1.4** 循环群是Abel群。

证明：设循环群为 $G$，由元素 $g$ 生成。那么 $\forall x,y\in G$，存在 $m, n$ 使得 $g^{m}=x$ 且 $g^{n}=y$。因此，
$$
xy=g^{m}g^{n}=g^{m+n}=g^{n}g^{m}=yx
$$
因此，$G$ 是Abel群。
$$
~\tag*{$\square$}
$$
## §1.4 群的阶
**定义 1.5** 令$G$是一个群。我们令
$$
|G|\in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}\cup \{\infty\}
$$
为$G$中元素的数量。我们称$|G|$为$G$的**阶(order)**。

**定义 2.3** 对于$g\in G$，考虑集合
$$
\{\ldots,\underbrace{g^{-1}\cdot g^{-1}}_{=:g^{-2}}, g^{-1},\mathrm{id}_{G},g,\underbrace{g\cdot g}_{=:g^{2}},\underbrace{g\cdot g\cdot g}_{=:g^{3}},\ldots\}
$$
我们定义 **$g$的阶(order of $g$)** 为
$$
|\langle g\rangle|
$$

**例 1.7**

- $1_{G}\in G$的阶为$1$。

- $n\in\mathbb{Z}$, $n\neq 0$有无穷阶。

- $\begin{pmatrix}
     0 & 1\\
     1 & 0
    \end{pmatrix}\in GL_{2}(\mathbb{R})$的阶为$2$，因为
$$
g^{2}=\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}=1_{GL_{2}(\mathbb{R})}
$$
所以$\{\ldots,g^{-1},1,g,\ldots\}=\{1,g\}$。

**定理 1.5 (Euler函数)** 阶为 $n$ 的循环群的生成元的数量由Euler函数$\varphi(n)$给出。

## §1.5 群的中心

为了研究非Abel群， 我们经常关注满足交换律的子集。一个重要的概念便是群的中心：

**定义 1.7** 群$G$的**中心(center)**, 记为$Z(G)$, 定义为:
$$
Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz~\text{对于任意}~g\in G\}.
$$

**命题 1.6** 一个Abel群的中心是整个群。

证明：一个群 $G$ 的中心定义为：
$$
Z(G) = \{z\in G \mid zg=gz~\text{对于所有}~g \in G\}.
$$
在一个Abel群中，每一对元素都可交换：
$$
g_{1} \cdot g_{2}=g_{2}\cdot g_{1} \quad \text{对于所有}~g_{1}, g_{2} \in G.
$$
因此，$G$ 中的每个元素都在中心，这意味着：
$$
Z(G)=G.
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$
群$G$的中心是与群$G$中每个元素可交换的元素的集合。这个集合不仅是特殊元素的收集，它实际上构成$G$的一个结构。我们将在下一节引入这个结构。

概念(名字)	所有数字	导数	群	环
这个概念解释了...? (数学是一种表达思想的语言; 这些词语体现了什么思想呢？)	计数, 数量	变化率, 线性化	对称性	空间上的函数
一些数学结果			几何的"代数化" (Descartes至今), 代数的"几何化"
一些应用 (纯数之外)			Nöther定理(物理) RSA算法(密码学) 逻辑电路作为"余层" 数据集的同调形状, 等等