# §18 向量空间
## §18.1 张成、线性无关与基
**定义 18.1** 固定 $x_{1},\ldots,x_{n}\in M$。

(1) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是满射，那么称该集合**张成(span)** $M$。

(2) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是单射，那么称该集合在 $M$ 中是**线性无关(linearly independent)** 的。

(3) 如果 $X$ 同时是单射和满射，那么称该集合是 $M$ 的**基(basis)**。



你会在线性代数中认出这些术语。用方程来表达，这些定义正是你所预想的：

**命题 18.1** 设 $M$ 是一个左 $R$-模，$x_{1},\ldots,x_{n}\in M$ 是一个有序集合。

(1) 如果对每个 $y\in M$，存在一个集合 $a_{1},\ldots,a_{n}\in R$ 使得
$$
y=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}，
$$
那么该集合张成 $M$。

(2) 如果方程
$$
0=a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n}
$$
仅有唯一解 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=(0, \ldots, 0)$，那么该集合是线性无关的。

(3) 如果对任何 $y \in M$，方程
$$
y=a_1 x_1+\ldots+a_n x_n
$$
仅有唯一的解 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$，那么该集合是基。

证明：第一条是满射的定义。后一条结论成立，因为同态映射是单射当且仅当核是平凡的，而 $(0, \ldots, 0) \in R^{n}$ 是 $R^n$ 的加法单位元。最后一条是双射的定义。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**定义 18.2** 如果存在某个整数 $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 和一个满 $R$-模同态 $R^{n} \rightarrow M$，称一个模是**有限生成的(finitely generated)**。

这与群的情况类似。一个群 $G$ 是有限生成的当且仅当存在有限个元素 $g_{i}$ 使得所有其他元素都可以表示为 $g_{i}$ 和它们的逆元的乘积。同样地，如果存在有限个 $x_{i}$，使得 $M$ 的每个元素都可以通过 $x_{i}$ 的线性组合得到，那么 $M$ 是有限生成的。

**例 18.1** 并非所有的 $R$-模都承认基。这与向量空间不同。例如，若 $R=\mathbb{Z}$ 且 $M=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，则对于任何 $x\in M$，方程
$$
a x=0
$$
有许多解——$a$ 可以是 $n, 2n, \ldots$。

**要点**: 并非每个有限生成的 $R$-模都承认基。

## §18.2 向量空间与子空间
**定义 18.3** 如果 $R-\{0\}$ 在乘法下构成群，则称一个交换环是**域(field)**。

**定义 18.4** 设 $F$ 是一个域。$F$ 上的模称为 $F$ 上的**向量空间(vector space)**。

**定义 18.5** 设 $V$ 是一个向量空间。那么 $V$ 的一个子模称为 $V$ 的**线性子空间(linear subspace)**。

## §18.3 张成集大于无关集
以下是域与环的最重要区别之一：

**定理 18.2** 设 $F$ 是一个域，$M$ 是一个 $F$ 上的向量空间。如果 $v_{1}, \ldots, v_{n}$ 张成 $M$，而 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 是线性无关的，那么 $n \geqslant m$。

证明：设 $y_{1}, \ldots, y_{m}$ 是线性无关的，$v_{1}, \ldots, v_{n}$ 是张成的。若有必要，可以对 $v_{i}$ 重新排序，以使
$$
y_{1}=a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n}
$$
且 $a_{1} \neq 0$。于是 $y_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ 也张成 $M$，因为我们可以通过 $y_{1}$ 和 $v_{i}$ 的线性组合得到 $v_{1}$——只需将上述方程除以 $a_{1} \neq 0$ 并重新排列即可。

让 $M_{1} \subset M$ 是由 $y_{1}$ 生成的子模——即 $R \rightarrow M$ 的像，由 $1 \mapsto y_{1}$ 定义——并考虑商模
$$
M/M_{1}
$$
（可以证明这是一个 $R$-模——即，一个向量空间。）那么 $\overline{y_{2}}, \ldots, \overline{y_{m}}$ 仍然是线性无关的，因为它们的线性组合等于零当且仅当
$$
a_{1} y_{1}=a_{2} y_{2}+\ldots+a_{m} y_{m}
$$
对于某个 $a_{1} \in F$ 成立，而此类方程仅当所有 $a_{i}=0$ 时成立，因为假定 $y_{i}$ 是线性无关的。注意 $\overline{y_{1}}=0, \overline{v_{2}}, \ldots, \overline{v_{n}}$ 仍是张成的，因此 $\overline{v_{2}}, \ldots, \overline{v_{n}}$ 是张成的。所以我们有 $n-1$ 个向量张成 $M/M_{1}$，且其中有 $m-1$ 个线性无关的向量。

通过重复上述技巧，如果我们在一个向量空间中有 $m$ 个线性无关的元素且有 $n$ 个元素张成它，我们可以在商向量空间中得到 $m-k$ 个线性无关的元素和 $n-k$ 个张成它的元素。那么这些数哪个会先到 0 呢？如果 $n-k=0$ 先到零，那么我们位于一个由 $0$ 个元素张成的商向量空间——即零向量空间——因此我们必须得出 $m-k=0$，因为在零向量空间中没有线性无关的向量。在这种情况下，$m=n$。如果 $m-k$ 在 $n-k$ 之前到零，那么 $m \leqslant n$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §18.4 维数
**推论 18.3** 如果 $M$ 是一个有限生成的向量空间，那么 $M$ 的任意两个基的元素数相同。

证明：如果 $\left\{v_{i}\right\}$ 和 $\left\{w_{i}\right\}$ 均是张成且线性无关的，我们有 $n \geqslant m$ 且 $m \geqslant n$。因此 $m=n$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**定义 18.6** 设 $V$ 是一个有限生成的 $F$-模——即有限生成的向量空间。称此类 $V$ 为**有限维**向量空间，并定义 $V$ 的**维数(dimension)**
$$
\dim_{F} V
$$
为 $V$ 的任意基中的元素数。

**注** 这是线性代数中最重要的事实：我们有维数的概念。人类花了几千年才理解什么是 $n$ 维空间，因此不要轻视这一概念！

**例 18.2** $0$ 维向量空间是由平凡Abel群 $M=\{0\}$ 给出的模。

**推论 18.4** 如果 $M$ 是一个有限生成的向量空间，那么任意线性无关集合 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 可以扩展为一个基——也就是说，我们可以找到 $w_{m+1}, \ldots, w_{n}$ 使得所得集合 $w_{1}, \ldots, w_{n}$ 同时线性无关且张成。

证明：由于 $M$ 是有限生成的，存在某个 $N$ 使得我们有一个满射 $F^{N} \rightarrow M$。因此，任意线性无关向量集的大小必须 $\leqslant N$。如果 $X_{m}: F^{m} \rightarrow M$ 是由 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 决定的映射，且 $X_{m}$ 不是满射，则选择一个不在 $\mathrm{im}\left(X_{m}\right)$ 中的元素 $w_{m+1}$。注意所得集合 $w_{1}, \ldots, w_{m+1}$ 仍然是线性无关的，因为如果
$$
a_{1} w_{1}+\ldots+a_{m+1} w_{m+1}=0
$$
则
$$
a_{1} w_{1}+\ldots+a_{m} w_{m}=-a_{m+1} w_{m+1}
$$
如果 $a_{m+1}=0$，根据 $w_{i}$ 的线性无关性，我们知道所有 $a_{i}=0$。另一方面，如果 $a_{m+1} \neq 0$，我们通过除法得出矛盾：
$$
\frac{a_{1}}{-a_{m+1}} w_{1}+\ldots+\frac{a_{m}}{-a_{m+1}} w_{m}=w_{m+1}
$$
左边在 $X_{m}$ 的像中，但 $w_{m+1}$ 被选择为不在其中。

因此我们有一个单射同态 $X_{m+1}: F^{m+1} \rightarrow M$。如果 $X_{m+1}$ 不是满射，我们重复上述论证。根据定理，$X_{m+k}$ 在某个 $m+k \leqslant N$ 处必须成为满射。让 $k$ 是 $X_{m+k}$ 首次成为满射的整数。根据上述论证，它仍然是单射，因此我们有一个由生成元 $w_{1}, \ldots, w_{m+k}$ 决定的基。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §18.5 若干推论
我们将要做什么？你以前已经研究过元素为实数的矩阵。你对它们进行了多种操作——相乘、相加，以及判断它们何时是可逆的。我声称几乎所有关于实数矩阵的操作都可以在任何域的矩阵上完成。

**推论 18.5** 任意有限生成的域 $F$ 上的模与 $F^{n}$ 对某个 $n$ 同构。

证明：从线性无关集合 0 开始扩展为基。一个基定义了从 $F^{n}$ 到你的模的同构。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**注** 如果 $R$ 不是域，这一结论对于 $R$-模不成立——毕竟，任何有限Abel群都是一个 $\mathbb{Z}$-模，但任何自由 $\mathbb{Z}$-模要么是零模，要么是无限模。

**推论 18.6** 如果 $V^{\prime}\subset V$ 是子空间，
$$
\dim V^{\prime}=\

dim V\quad\Leftrightarrow\quad V=V^{\prime}.
$$

证明：一方向显然成立。对于另一方向，令 $y_{1},\ldots,y_{n}$ 是 $V^{\prime}$ 的基。由于这些向量是线性无关的，它们可以通过上述推论之一扩展为 $V$ 的基。但根据维数的定义，该基必须恰好有 $n$ 个元素——换句话说，$y_{i}$ 已经是一个基。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**推论 18.7** 设 $V^{\prime} \subset V$ 是一个子空间。则有 $\dim V^{\prime}+\dim V/V^{\prime}=\dim V$。

证明：设 $v_{1}, \ldots, v_{\dim V^{\prime}}$ 是 $V^{\prime}$ 的基。设 $\overline{u_{1}}, \ldots, \overline{u_{\dim V/V^{\prime}}}$ 是 $V/V^{\prime}$ 的基。选择代表 $u_{i}$ 作为 $\overline{u_{i}}$，则集合
$$
v_{1}, \ldots, v_{\dim V^{\prime}}, u_{1}, \ldots, u_{\dim V/V^{\prime}}
$$
是 $V$ 的基。

它显然是张成的，因为对于每个 $a \in V$，$\overline{a}$ 是 $\overline{u_{i}}$ 的线性组合，因此 $a$ 位于某个线性组合的 $V^{\prime}$-轨道内。它也是线性无关的，因为如果
$$
0 = a_{1} v_{1} + \cdots + a_{\dim V^{\prime}} v_{\dim V^{\prime}} + b_{1} u_{1} + \cdots + b_{\dim V/V^{\prime}} u_{\dim V/V^{\prime}}
$$
那么
$$
\overline{0} = a_{1} \overline{v_{1}} + \cdots + a_{\dim V^{\prime}} \overline{v_{\dim V^{\prime}}} + b_{1} \overline{u_{1}} + \cdots + b_{\dim V/V^{\prime}} \overline{u_{\dim V/V^{\prime}}}
$$
因为 $\overline{v_{i}} = 0$，$a_{i}$ 项消失，因此我们得到一个等式，表示 $\overline{u_{i}}$ 的线性组合等于零。由于 $\overline{u_{i}}$ 是线性无关的，得出每个 $b_{i}$ 必须为零。原等式表明 $0 = \sum a_{i} v_{i}$，因此根据 $v_{i}$ 的线性无关性，所有 $a_{i}$ 也必须为零。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**推论 18.8 (秩-零度定理)**
设 $f: V \rightarrow W$ 是一个 $F$-模之间的映射，且假设 $V$ 是有限生成的。那么有 $\dim \ker f + \dim \mathrm{im} f = \dim V$。

证明：根据同态基本定理，我们知道存在一个群同构 $V/\ker f \cong \mathrm{im} f$。但这个同态映射也是一个 $F$-模映射，可以手工验证。因此 $\mathrm{im} f \cong V/\ker f$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**推论 18.9 (同构的判别准则)**
设 $f: V \rightarrow W$ 是有限维向量空间之间的线性映射。那么 $f$ 是同构当且仅当 $f$ 是单射且 $\dim V = \dim W$。

证明：根据秩-零度定理，$f$ 的像的维数等于 $V$ 的维数，因为 $f$ 是单射。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §18.6 总结
从上述所有内容中得到的总结是维数概念的强大。无论你的域是 $\mathbb{R}$ 这样熟悉的，还是类似 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 这样陌生的；无论线性映射是熟悉的矩阵，还是像多项式函数的值这样的线性映射，我们都有一种强大的方法来研究线性映射。

## §18.7 行列式
我们从线性代数中得到的另一个强大工具是行列式的概念。行列式只需要一个关于乘以 $-1$（取加法逆元）、矩阵元素的乘法和加法的概念。因此我们应该能够定义任何系数在环 $R$ 上的矩阵的行列式。

事实证明，如果环 $R$ 不是交换的，有些公式可能不成立——因为乘法的顺序很重要——因此我们将限制自己使用交换环。

**定义 18.7** 设 $R$ 是一个交换环。一个 $k \times k$ 的**矩阵(matrix)** 是元素的集合
$$
A_{ij} \in R
$$
其中 $i \in 1, \ldots, k$，$j \in 1, \ldots, k$。我们用符号表示矩阵
$$
A = \left(A_{ij}\right).
$$

**例 18.3** 一个 $3 \times 3$ 的 $R$ 上的矩阵可以用通常的方式表示：
$$
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
$$

**定义 18.8** $R$ 中 $k \times k$ 矩阵的**环(ring)**，记作 $M_{k \times k}(R)$，其加法定义为
$$
\left(A_{i j}\right)+\left(B_{i j}\right)=\left(A_{i j}+B_{i j}\right)
$$
且乘法定义为
$$
\left(A_{i j}\right)\left(B_{i j}\right)=\left(\sum_{l=1}^k A_{i l} B_{l j}\right)
$$
即加法是逐项相加，而乘法中第 $i,j$ 项是 $B$ 的第 $j$ 列与 $A$ 的第 $i$ 行的配对。

**定义 18.9 (余子式矩阵)**
设 $A$ 是一个 $k \times k$ 矩阵。$A$ 的第 $(i,j)$ 项的**余子式矩阵(cofactor matrix)** 是删除 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列所得的矩阵。当 $A$ 是已知时，我们记作
$$
C_{i, j}
$$
表示由 $A$ 的第 $(i, j)$ 项余子式得到的 $(k-1) \times (k-1)$ 矩阵。

**定义 18.10** $R$ 中 $1 \times 1$ 矩阵的**行列式(determinant)** 是矩阵的唯一元素 $A_{11}$。

递归定义：设 $A$ 是一个 $k \times k$ 矩阵。则 $A$ 的行列式定义为以下求和：
$$
\det A = A_{11} \det C_{1,1} - A_{21} \det C_{2,1} + \cdots + (-1)^{1+k} A_{k 1} \det C_{k, 1}。
$$
使用求和符号表示为：
$$
\det A := \sum_{i=1}^k (-1)^{i+1} A_{i 1} \det C_{i, 1}。
$$
这定义了一个函数
$$
\det: M_{k \times k}(R) \rightarrow R。
$$

**例 18.4** 如果 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 矩阵，
$$
\det(A) = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}。
$$

我们不证明以下定理，但你对实数进行的证明同样适用于一般情形：

**定理 18.10** 设 $A$ 和 $B$ 是 $k \times k$ 矩阵。那么
$$
\det(A) \det(B) = \det(AB)
$$
且
$$
\det\left(A^\mathrm{T}\right) = \det(A).
$$

**定理 18.11** 设 $\mathrm{adj}(A)$ 是一个 $k \times k$ 矩阵，其第 $(i, j)$ 项由
$$
(-1)^{i+j} \det C_{j, i}
$$
给出。那么
$$
A \cdot (\mathrm{adj} A) = (\mathrm{adj} A) \cdot A = \det A \cdot I
$$
其中 $\det A \cdot I$ 是对角矩阵，对角元素由元素 $\det A \in R$ 给出。

**注** 如果你之前没有见过这个定理的最后一条说明，我会简要说明一下证明思路。第一乘法的 $(i, j)$ 项由以下给出：
$$
\sum_{l=1}^k A_{i l} (\mathrm{adj} A)_{l j} = \sum_{l=1}^k A_{i l} (-1)^{j+l} \det C_{j, l}.
$$
例如，$(1,1)$ 项就是 $A$ 的行列式的定义。通过使用关于交换行只改变行列式符号的性质，可以证明每个对角线项都是 $A$ 的行列式。

对于非对角线项，注意到上述求和式变为具有两行相等的矩阵的行列式，因此为零。

**推论 18.12** 设 $A \in M_{k \times k}(R)$。则 $A$ 是可逆矩阵当且仅当 $\det A \in R$ 有乘法逆元。

证明：令 $B = \det A^{-1} \mathrm{adj} A$。则有
$$
B A = \det A^{-1} \mathrm{adj} A \cdot A = \det A^{-1} \det A \cdot I = I.
$$
同样可以证明 $BA = I$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 18.5** 如果 $A$ 是一个仅包含整数元素的矩阵，那么当且仅当 $\det A = \pm 1$ 时存在一个仅包含整数元素的逆矩阵。

**例 18.6** 设 $A$ 是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的一个矩阵。则当且仅当其行列式与 $n$ 互素时，$A$ 是可逆的。

§18 向量空间

# §17 模

## §17.1 模
正如群作用在集合上一样，环作用在Abel群上。当一个环作用于一个Abel群时，该Abel群被称为该环上的**模**。

当群作用于集合时，必须通过双射作用，因此必须尊重集合的**势(cardinality)** 等性质。但环作用于Abel群时，它尊重的是Abel群内部的加法结构，这便是下面定义中的条件(1)。

在此情境下，我们将像对待群一样，建立模代数的所有定义。

**定义 17.1** 设$R$为一个环，$M$为一个Abel群。$R$在$M$上的**左作用(left action)** 是一个函数
$$
\begin{aligned}
R\times M&\to M,\\
(r,m)&\mapsto rm
\end{aligned}
$$
使得对于所有$r, s\in R$和$m, m^{\prime}\in M$，满足：

(1) $r(m+m^{\prime})=rm+rm^{\prime}$。

(2) $(r+s)m=rm+sm$。

(3) $s(rm)=(sr)m$。

(4) $1m=m$。

当$R$在$M$上的左作用确定后，我们称$M$为**左$R$-模(left $R$-module)**。



**注** 这里，“乘以$r$”可以理解为由某个环元素缩放。因此，一个模就是一个带有加法的集合，并附带一个由$r$缩放的概念。

有一种更简洁的表达方式。上面所有内容等价于一个环同态$R\to\mathrm{End}(M)$。

一个右$R$-模是一个Abel群$M$，带有一个满足(1)-(4)类似条件的函数$M\times R\to M$。

现在可能感觉数据量很大，因为我们同时涉及$R$和$M$。实际上，我们通常固定一个环$R$，只研究不同$M$之间的关系。

**练习** 设$M$为左$R$-模，则
$$
0m=m\quad\text{and}\quad (-r)m=-(rm).
$$

证明：为清晰起见，我们用$0_{R}$表示$R$的零元。根据条件(2)，我们有
$$
0_{R}m=(0_{R}+0_{R})m=0_{R}m+0_{R}m
$$
因此根据消去律，我们得到
$$
0=0_{R}m
$$
左边的$0$是$M$的加法单位元。同样地，
$$
rm+(-r)m=(r-r)m=0_{R}m=0.
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 17.1** (a) 设$R=\mathbb{R}$，$M=\mathbb{R}^{n}$，即$n$维的实向量空间。那么我们定义一个函数
$$
\begin{aligned}
\mathbb{R}\times M&\to M,\\
(t,v)&\mapsto t\vec{v}
\end{aligned}
$$
即通过$t$进行缩放。如果$\vec{v}=(v_{1},\ldots,v_{n})$，
$$
t\vec{v}=(tv_{1},\ldots,tv_{n}).
$$
这满足上述所有性质。

(b) 任意环$R$自身是其上的一个左模。

(c) 这是一个远离“缩放”概念的例子，更贴近“作用”这一概念。设$\mathbb{R}[t]$为变量$t$上的实系数多项式环。选取一个$m\times m$矩阵$T$，我们将其视为一个线性映射$T: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}$。那么，$\mathbb{R}^{m}$是一个左$\mathbb{R}[t]$-模，其作用定义为
$$
(a_{0}+a_{1}t+\cdots+a_{k}t^{k})v:=a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots+a_{k}(T\circ\cdots\circ T)(v)
$$
其中$T\circ \cdots\circ T$表示$T$复合$k$次。

## §17.2 子模
**定义 17.2** 设$R$为一个环，$M$为一个左$R$-模。若$M$的一个Abel子群$M^{\prime}\subset M$满足对于所有$r\in R$，$x\in M^{\prime}$时有$rx\in M^{\prime}$，则称$M^{\prime}$为$M$的**子模(submodule)**。

**例 17.2** (a) 若$R=\mathbb{R}$且$M=\mathbb{R}^{n}$，则子模是闭合于加法、取逆及缩放的子集。这与$\mathbb{R}^{n}$的线性子空间相同。

(b) 设$R$为交换环，则$I\subset R$是理想当且仅当$I$是$R$的子模。

(c) 设$M=\mathbb{R}^{m}$为线性变换$T: \mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}^{k}$定义的$\mathbb{R}[t]$-模。那么，子模是一个线性子空间$V$，满足$T(V)\subset V$。换言之，它是$T$不变的子空间。

## §17.3 模同态
**定义 17.3** 设$M$和$N$为左$R$-模。则一个$R$-模同态，或$R$-模映射，是一个函数
$$
f: M\to N.
$$
使得$f$是一个群同态，并且
$$
f(rx)=rf(x)
$$
对于所有$r\in R$, $x\in M$。

**定义 17.4** 一个$R$-模**同构(isomorphism)**是一个双射的同态。

**定义 17.5** 一个$R$-模同态$f: M\to N$的**核(kernel)** 和**像(image)** 分别是$f$作为群同态的核和像。

这意味着$\ker(f)=\{x~|~f(x)=0\}$，$\mathrm{im}(f)=\{y\in N~|~y=f(x), x\in M\}$。

**例 17.3** (a) 若$M\cong\mathbb{R}^{n}$和$N\cong\mathbb{R}^{m}$，具有$\mathbb{R}$上的缩放模结构，则线性映射$M\to N$是一个$\mathbb{R}$-模同态。

(b) (没有从上面(b)来的明显的例子)

(c) 设$M=\mathbb{R}^{m}$为左模，定义由线性变换$T$。令$N=\mathbb{R}^{n}$为线性变换$S: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$定义的左模。则一个$R$-模同态是一个线性映射
$$
f: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}.
$$
具有性质
$$
f(T(v))=S(f(v)).
$$

**定义 17.6** 设$M$和$N$为左$R$-模，则所有$R$-模同态的集合记作
$$
\mathrm{Hom}_{R}(M, N).
$$

**命题 17.1** $\mathrm{Hom}_{R}(M, N)$是一个左$R$-模。

证明：**标量乘法的定义**：

对于$r \in R$和$f \in \mathrm{Hom}_R(M, N)$，定义标量乘法$r \cdot f$为：
$$
(r \cdot f)(m) = r f(m), \quad \forall m \in M.
$$

**验证$r \cdot f$是一个$R$-模同态**：

1. 加法性：
$$
   \begin{aligned}
   (r \cdot f)(m_1 + m_2) &= r f(m_1 + m_2) \\
   &= r [f(m_1) + f(m_2)] \\
   &= r f(m_1) + r f(m_2) \\
   &= (r \cdot f)(m_1) + (r \cdot f)(m_2).
   \end{aligned}
$$
因此，$r \cdot f$是加法性的。

2. 标量乘法的相容性：对于所有$s \in R$和$m \in M$，
$$
\begin{align*}
   (r \cdot f)(s m) &= r f(s m) \\
   &= r [s f(m)] \\
   &= s [r f(m)] \tag{因为$R$是交换的} \\
   &= s (r \cdot f)(m).
\end{align*}
$$
因此，$r \cdot f$是$R$-线性的。

**验证模公理**：

1. 关于环加法的分配性：
$$
   \begin{aligned}
   ((r + s) \cdot f)(m) &= (r + s) f(m) \\
   &= r f(m) + s f(m) \\
   &= (r \cdot f + s \cdot f)(m).
   \end{aligned}
$$

2. 关于模加法的分配性：
$$
   \begin{aligned}
   (r \cdot (f + g))(m) &= r (f + g)(m) \\
   &= r [f(m) + g(m)] \\
   &= r f(m) + r g(m) \\
   &= (r \cdot f)(m) + (r \cdot g)(m).
   \end{aligned}
$$

3. 标量乘法的结合性：
$$
   \begin{aligned}
   ((r s) \cdot f)(m) &= (r s) f(m) \\
   &= r (s f(m)) \\
   &= r \cdot (s \cdot f)(m).
   \end{aligned}
$$

4. 单位元：
$$
   (1_R \cdot f)(m) = 1_R f(m) = f(m).
$$
   
**结论**：

由于满足所有模的公理，$\mathrm{Hom}_R(M, N)$在上述定义的标量乘法下是一个左$R$-模。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §17.4 直和与自由模
**定义 17.7** 设$M$和$N$为左$R$-模，则定义**直和(direct sum)**
$$
M\oplus N
$$
等同于作为群的$M\times N$，并具有$R$-模结构
$$
r(m,n):=(rm,rn).
$$

**命题 17.2** $M\oplus N$是一个$R$-模。

证明：我们已知$M\oplus N$是一个Abel群。另一方面，
$$
1(m,n):=(1m,1n)=(m,n)
$$
因为$M$和$N$都是模。而且我们有
$$
\begin{align*}
r((m,n)+(m^{\prime},n^{\prime}))&=r(m+m^{\prime},n+n^{\prime})\\
&=(r(m+m^{\prime}), r(n+n^{\prime}))\\
&=(rm+rm^{\prime},rn+rn^{\prime})\tag{3}\\
&=(rm,rn)+(rm^{\prime},rn^{\prime})\\
&=r(m,n)+r(m^{\prime},n^{\prime}).
\end{align*}
$$
其中(3)我们运用了$M$和$N$都是左$R$-模的性质。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 17.4** 若$R=\mathbb{R}$，且$M$和$N$也是$\mathbb{R}$，作为其自身的模，那么
$$
\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\cong\mathbb{R}\times\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^{2}
$$
作为群，我们有通常的缩放操作
$$
r(x_{1},x_{2})=(rx_{1},rx_{2})。
$$

**注** 存在一个显然的同构
$$
(M\oplus N)\oplus O\cong M\oplus(N\oplus O),\quad (m,n,o)\mapsto (m,n,o).
$$

**定义 17.8** 设$R$为一个环，则直和模
$$
R^{n}:=R\oplus \cdots\oplus R
$$
称为**秩为$n$的自由$R$-模(free $R$-module of rank $n$)**。

## §17.5 自由模的泛性质
**问题**：为什么称之为自由$R$-模？

**命题 17.3** 设$M$是一个$R$-模。则任意的元素$n$元组$x_{1},\ldots,x_{n}\in M$唯一地确定一个$R$-模同态
$$
X: R^{n}\to M
$$
定义为
$$
(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)\mapsto x_{i}
$$
其中第$i$个坐标为$1$。

**注** 这与具有$n$个生成元的自由群的性质相同：任意一个群$G$的元素$n$元组唯一地确定从$F_{n}$到$G$的映射。

证明：给定$(x_{1},\ldots,x_{n})$，定义$X: R^{n}\to M$为
$$
X(a_{1},\ldots,a_{n}):=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}\in M。
$$
这是一个群同态，因为
$$
\begin{aligned}
X((a_{1},\ldots,a_{n})+(b_{1},\ldots,b_{n}))&=(a_{1}+b_{1})
x_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})x_{n}\\
&=(a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{x})+(b_{1}x_{1}+\cdots+b_{n}x_{n})\\
&=X(a_{1},\ldots,a_{n})+X(b_{1},\ldots,b_{n}).
\end{aligned}
$$
其中中间的等号使用了$M$为$R$-模的性质。这也是一个$R$-模同态，因为
$$
\begin{aligned}
X(r(a_{1},\ldots,a_{n}))&=X((ra_{1},\ldots,ra_{n}))\\
&=(ra_{1})x_{1}+\cdots+(ra_{n})x_{n}\\
&=r(a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n})\\
&=rX((a_{1},\ldots,a_{n})).
\end{aligned}
$$
同样，倒数第二个等号使用了$M$是$R$-模的性质。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

## §17.6 0个生成元的自由模
**练习** 设$M$为左$R$-模，证明
$$
r0_{M}=0_{M},\quad\text{and}\quad r(-x)=-rx.
$$

证明：$R$在$M$上的作用等价于一个环同态$R\to\mathrm{End}(M)$。特别地，$R$中的每个元素$r$决定了一个Abel群同态。因此，以$r$为倍数的缩放保留了$M$的加法单位元和加法逆元。

如果你喜欢更计算化的证明，可以观察到
$$
r0_{M}+r0_{M}=r(0_{M}+0_{M})=r0_{M}.
$$
因此根据Abel群的消去律，我们可以从两边减去$r0_{M}$得到
$$
r0_{M}=0_{M}.
$$
因此
$$
r(-x)+rx=r(-x+x)=r0_{M}=0_{M},
$$
这表明$r(-x)$是$rx$的加法逆元。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**注** 我们知道$R^{\oplus n}$对于$n\geqslant 1$的情况。但对于$n=0$呢？

我们应该寻找一个$R$-模$R^{\oplus 0}$，使得存在一个双射
$$
\mathrm{Hom}_{R}(R^{\oplus 0},M)\cong\mathrm{Map}_{\text{Sets}}(\varnothing,M).
$$
但从空集到任意集合的函数唯一。因此我们必须寻找一个$R^{\oplus 0}$的模，使得只有一个模同态到任意$M$。唯一满足此性质的模是零模，即具有$r0=0$的平凡Abel群。

§17 模

# §16 域
## §16.1 域的基本概念
**定义 16.1** 一个交换环称为**域(field)**，如果 $R-\{0\}$ 在乘法下是一个群。



**例 16.1** $\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}$ 是域，因为每个非零元素都有一个乘法逆元。

**例 16.2** $\mathbb{Z}$ 不是一个域，因为任何不是 $\pm 1$ 的整数都没有乘法逆元。
## §16.2 子域
## §16.3 素域
## §16.4 域的特征
## §16.5 域扩张

§16 域

# §15理想与商环
## §15.1 理想
你可能会这样想：如果 $S \subset R$ 是一个“正常”的子环，那么 $R/S$ 将是某个环。这是对群的盲目类比。然而，这个类比是错误的。

**定义 15.1** 设 $R$ 是一个交换环。一个子集 $I \subset R$ 被称为一个**理想(ideal)**，如果

(1) $I$ 在加法下是一个子群，并且

(2) $x \in I$ 蕴含 $rx \in I$ 对于所有 $r \in R$。



**注** 注意 (2) 表明如果 $x, y \in I$，那么 $xy \in I$。所以看起来像是一个关于成为子对象的闭合条件。但是 $I$ 不一定包含 $R$ 的乘法单位元，因此 $I$ 绝对不是一个子环。从启发性的角度看，(2) 实际上是说 $I$ 通过乘法将 $R$ 的每个元素都吸引到 $I$ 中。

**命题 15.1** 对于每个非零整数 $n$，令 $n\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$ 为那些是 $n$ 的倍数的整数。$n\mathbb{Z}$ 是环 $\mathbb{Z}$ 中的一个理想。

证明：(1) $n\mathbb{Z}$ 包含 $0$，并且如果两个数可被 $n$ 整除，那么它们的和也可以。类似地，如果 $a$ 可被 $n$ 整除，那么 $-a$ 也可以。因此 $n\mathbb{Z}$ 在加法下是一个子群。

(2) 最后，如果 $r$ 是任意整数且 $x$ 可被 $n$ 整除，那么 $rx$ 也可被 $n$ 整除。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**注** 由于 $R$ 是Abel群，注意任何子群 $I$ 都是正规子群。因此存在一个Abel群 $R/I$。

**命题 15.2** 设 $R$ 是一个交换环，$I \subset R$ 是一个理想。那么运算
$$
\times: R/I \times R/I \to R/I,\qquad \overline{r} \cdot \overline{s} = \overline{rs}
$$
连同 $R/I$ 上的通常加法，使得 $R/I$ 成为一个交换环。

证明：我们需要证明此运算不依赖于代表元 $r \in \overline{r}$ 和 $s \in \overline{s}$ 的选择。

令 $r^{\prime} = r + x$ 和 $s^{\prime} = s + y$，其中 $x, y \in I$。（这意味着 $\overline{r^{\prime}} = \overline{r} \in R/I$，且 $\overline{s^{\prime}} = \overline{s} \in R/I$。）

则
$$
r^{\prime}s^{\prime} = (r + x)(s + y) = rs + xs + ry + xy.
$$
注意最后三项在 $I$ 中，因为 $I$ 是一个理想，因此它们的和也在 $I$ 中，因为 $I$ 是一个子群。所以 $\overline{r^{\prime}s^{\prime}} = \overline{rs}$。也就是说，该运算是良定义的。

我们已经知道 $(R/I, +)$ 是一个Abel群。因此我们需要证明 $(R/I, \times)$ 是一个Abel幺半群，并且乘法对加法分配。

首先，乘法是结合的，因为
$$
(\overline{a}\overline{b})\overline{c} = \overline{ab}\overline{c} = \overline{(ab)c} = \overline{a(bc)} = \overline{a}(\overline{b}\overline{c}).
$$
注意这里关键的一步是使用了 $(R, \times)$ 是结合的这个事实。

乘法是交换的，因为
$$
\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} = \overline{ba} = \overline{b}\overline{a}
$$
再次使用了 $(R, \times)$ 是交换的。

乘法单位元是 $\overline{1}$：
$$
\overline{1}\overline{a} = \overline{1a} = \overline{a},\quad \overline{a}\overline{1} = \overline{a1} = \overline{a}.
$$
最后，乘法对加法分配，因为
$$
\overline{a}(\overline{b} + \overline{c}) = \overline{a(b + c)} = \overline{ab + ac} = \overline{a}\overline{b} + \overline{a}\overline{c}.
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$
因此，为了得到新的有趣的环，我们可以寻找理想然后取商环。

**例 15.1** 环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 对理想 $I = n\mathbb{Z}$ 的商环。

**例 15.2** $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ 是一个子群，实际上也是一个子环，但它绝不是一个理想。这是因为如果 $x$ 是一个整数且 $r$ 是一个有理数，$rx$ 不一定是一个整数。实际上，子环通常不是理想。

## §15.2 理想与商环的例子
**定义 15.2** 设 $x \in R$ 是一个交换环的元素。由 $x$ 生成的理想是所有形如 $rx$ 的元素的集合，其中 $r \in R$。我们用 $(x)$ 表示这个理想。

**命题 15.3** 这是一个理想。

证明：设 $I = (x)$。$I$ 在加法下是封闭的，因为 $rx + sx = (r+s)x \in I$。它包含加法单位元，因为 $0x = 0$。它包含逆元，因为 $-(rx) = (-r)x$。因此 $I$ 在加法下是一个子群。最后，如果 $s \in R$ 且 $rx \in I$，我们有 $s(rx) = (sr)x \in I$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 15.3** 设 $R = \mathbb{R}[t]$ 为一元多项式环。考虑由多项式 $t^{2}+1$ 生成的理想 $I$。因此
$$
I = \{f(t)~\text{使得}~f(t) = g(t)(t^{2}+1)~\text{对于某个多项式}~g(t)\in \mathbb{R}[t]\}.
$$

那么环 $R/I$ 是什么？

**命题 15.4** 环 $\mathbb{R}[t]/(t^{2}+1)$ 同构于 $\mathbb{C}$。

是不是很酷？通常，当你有一个环 $R$ 并且你通过某个等式对它的多项式环取商时，你实际上是向 $R$ 中“添加”了一个满足这个多项式方程的元素。这就是Galois理论的开端。

## §15.3 理想的几何解释
**问题**：你应该如何理解理想？

代数上：一个在倍数下闭合的子群。$I \subset R$，满足
- $rx \in I$，对所有 $x \in I$，$r \in R$。
- $(I, +) \subset (R, +)$ 子群。

你可能觉得这不太有启发性。因此，

几何上：设 $R = \{\text{从某空间}~X~\text{到}~\mathbb{R}~\text{的连续函数}\}$。这个 $R$ 是一个环，因为
- 连续函数之和是连续的，
- 连续函数之积是连续的，
- 零函数是加法单位元
    $$
    (0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = f(x)
    $$
    因此 $0 + f = f$。（类似地，$f = f + 0$。）
- 常数函数 $1: x \mapsto 1_{\mathbb{R}}$ 是乘法单位元
    $$
    (1 \cdot f)(x) = 1(x) \cdot f(x) = 1_{\mathbb{R}} \cdot f(x) = f(x)
    $$
    因此 $1 \cdot f = f$。（类似地，$f \cdot 1 = f$。）
- $-f$ 发送 $x \mapsto -f(x)$，是加法逆元。
- $\begin{aligned}
        f \cdot (g + h): x \mapsto f(x)((g + h)(x)) &= f(x)(g(x) + h(x))\\
        &= f(x)g(x) + f(x)h(x)
    \end{aligned}$，因此 $f(g + h) = fg + fh$。
- 结合律也可以很容易地验证。

好的，因此 $R = \{\text{连续函数}\}$。

令 $Y \subset X$ 是一个子集并定义
$$
I_{Y} = \{\text{函数}~f \in R~\text{使得}~f(y) = 0, \forall y \in Y\}.
$$
即，$I_{Y} = \{\text{在}~Y~\text{上消失的函数}\}$。

**命题 15.5** $I_{Y} \subset R$ 是一个理想。

证明：令 $f_{1}, f_{2} \in I_{Y}$。那么 $\forall y \in Y$，
$$
(f_{1} + f_{2})(y) = f_{1}(y) + f_{2}(y) = 0 + 0 = 0
$$
因此 $f_{1} + f_{2} \in I_{Y}$。类似地，
$$
(-f_{1})(y) = -f_{1}(y) = -0 = 0.
$$
因此 $-f_{1} \in I_{Y}$。（注意这也意味着 $0 \in I_{Y}$。但更直接地，$0(y) = 0$，$\forall y \in Y$，所以 $0 \in I_{Y}$。）所以 $I_{Y} \subset R$ 是一个子群。我们只需要验证它在 $R$ 的缩放下是封闭的。

给定 $g \in R$，$f \in I_{Y}$，
$$
(\underbrace{g \cdot f}_{\in R})(y) = \underbrace{g(y) \cdot f(y)}_{\in R} = g(y) \cdot 0 = 0
$$
因此 $gf \in I_{Y}$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$
**结论**：每个子集 $Y \subset X$ 产生一个理想 $I_{Y} \subset R$。

**注** 这个例子应该成为范式的事实并不显然。例如，你如何将 $\mathbb{Z}$ 理解为“某空间 $X$ 上的函数”？理想 $p\mathbb{Z}$ 如何由 $X$ 的某个“子集”给出？

无论如何，这种思维方式对微分几何、数论（想象一下能够讨论素数的几何！）等领域有着巨大的影响。

此外，如果我们有 $Y \subset X$，我们应该能够讨论 $Y$ 上的函数——另一个环！

**哲学**：令 $Y$ 产生理想 $I_{Y}$。那么
$$
\{\text{在}~Y~\text{上的函数}\} \cong R/I_{Y}。
$$

**例 15.4 （我们偏离所有连续函数，只考察多项式函数。）**
设 $R = \mathbb{R}[x,y] = \{\text{在}~\mathbb{R}^{2}~\text{上的多项式函数}\}$。令 $Y = \{(x,y)~\text{使得}~y^{2} - x = 0\}$。那么
$$
I_{Y} = \{\text{多项式}~f~\text{使得}~f(y^{2}, y) = 0\} \xlongequal{\text{不显然}} (y^{2} - x)
$$
其中 $(y^{2} - x)$ 是由元素 $y^{2} - x \in R$ 生成的理想。大致来说，如果 $f(x, y)$ 在 $Y$ 上消失，它必须由 $y^{2} - x$ 因式分解。然后
$$
\{\text{在}~Y~\text{上的代数/多项式函数}\} \cong R/(y^{2} - x).
$$
那么为什么？如果 $f_{1}$，$f_{2}$ 是 $X$ 上的函数，它们限制在 $Y$ 上。但
$$
f_{1}(y)= f_{2}(y),\quad \forall y \in Y
$$
<span style="display: flex; flex-direction: row; justify-content: center; align-items: center;transform:rotate(90deg);">$\Leftrightarrow$</span> 
$$
f_{1}(y) - f_{2}(y) = 0,\quad \forall y \in Y
$$
<span style="display: flex; flex-direction: row; justify-content: center; align-items: center;transform:rotate(90deg);">$\Leftrightarrow$</span> 
$$
f_{1} - f_{2} \in I_{Y}
$$
即，$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 定义了相同的 $Y$ 上的函数当且仅当 $[f_{1}] = [f_{2}] \in R/I_{Y}$。

§15 理想和商

# §14 环
## §14.1 环的定义
**定义 14.1** 一个**幺半群(monoid)** 是一个没有逆元的群。也就是说，幺半群是一个集合$M$，与之配合一个函数
$$
\cdot: M\times M\to M
$$
该函数具有单位元并且是结合的。我们称一个幺半群是**交换的(commutative)**，如果对所有$a, b\in M$，有$ab=ba$。



**定义 14.2** 一个**结合环(associative ring)** 是一个三元组$(R,+, \cdot)$，其中$R$是一个集合，且

(1) $+: R \times R \rightarrow R$是一个函数，使$(R,+)$成为一个Abel群。我们称此运算为加法，其单位元为$0$。

(2) $\cdot: R \times R \rightarrow R$是一个函数，使$R$成为一个幺半群。我们称$\cdot$运算为乘法，其单位元为$1$。

(3) 最后，我们要求乘法对加法是分配的：这意味着对所有$a, b, c \in R$，有
$$
a(b+c)=a b+a c \quad \text{且} \quad(b+c) a=b a+c a
$$
其中我们将$a \cdot b$写作$a b$。

我们通常只写$R$表示环，而隐去运算$+$和$\cdot$。

**定义 14.3** 如果$(R, \cdot)$是一个abel幺半群，我们称$R$为**交换环(commutative ring)**。

在讨论群时，我很快证明了消去律，因为它是有用的知识。这里是另一个有用的知识：

**命题 14.1** 设$R$是一个结合环，$0$是$R$的加法单位元。那么
$$
0\cdot a=a\cdot 0=0
$$
对所有$a\in R$成立。

证明：
$$
\begin{align*}
0\cdot a&=(0+0)\cdot a\tag{因为$0+0=0$}\\
&=0\cdot a+0\cdot a\tag{分配律}
\end{align*}
$$
利用Abel群的消去律，我们可以从等式的两边减去$0\cdot a$。剩下$0=0\cdot a$。类似地，$a\cdot 0=0$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$
**注** 我们不会深入探讨原因，但环的行为在它们是否交换方面有着极大的不同。

## §14.2 交换环的例子
**例 14.1** 考虑三元组$(\mathbb{Z},+,\cdot)$。这使得$(\mathbb{Z},+)$成为阿贝尔群，而$(\mathbb{Z},\cdot)$显然是一个幺半群——乘法有一个称为$1$的单位元并且是结合的。分配律是你熟悉的分配律。

**例 14.2** 使用通常的加法和乘法，三元组$(\mathbb{Q},+,\cdot)$是一个环。对于$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$及其通常的乘法也是如此。这些是特殊类型的环，因为$R-\{0\}$中的任一元素在乘法下都有逆元。

**例 14.3 (多项式环)**
令$\mathbb{Z}[x]$表示系数为整数的$x$的多项式的集合。因此，一个元素是一个表达式
$$
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}
$$
其中对于大于某个有限$n$的所有$i$，$a_{i}=0$。例如，以下是$\mathbb{Z}[x]$中的元素：
$$
0, 5, 3+x-5x^{4}, x。
$$
在第三个例子中，$a_{0}=3$，$a_{1}=1$，$a_{2}=0$，$a_{3}=0$，$a_{4}=-5$。

设$q(x)$是一个系数为$b_{i}$的多项式。多项式的加法定义如下
$$
p(x)+q(x):=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(a_{i}+b_{i})x^{i}。
$$
注意，因为对于大于$n$的$i$，$a_{i}=0$，且对于大于某个$m$的所有$i$，$b_{i}=0$，因此和确实是一个多项式，因为$(a_{i}+b_{i})=0$对于所有大于$\max(m,n)$的$i$成立。

两个多项式的积定义为通常的方式
$$
\begin{aligned}
p(x)\cdot q(x)&=(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m})\\
&=a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+\cdots+a_{n}b_{m}x^{n+m}\\
&=\sum\limits_{k\geqslant 0}\left(\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}.
\end{aligned}
$$

**命题 14.2** $\mathbb{Z}[x]$是一个交换环。更一般地说，如果$R$是一个交换环，那么系数在$R$中的多项式集合$R[x]$是一个交换环。

证明：
1. $R[x]$是一个环，因为

(1) 加法是封闭的：对于$R[x]$中的两个多项式$p(x)$和$q(x)$，它们的和$p(x)+q(x)$是一个多项式，其系数为$p(x)$和$q(x)$的相应系数之和。由于$R$是交换环并在加法下封闭，因此该运算在$R[x]$中是良定义的。

(2) 乘法是封闭的：对于两个多项式$p(x)$和$q(x)$，它们的积$p(x)\cdot q(x)$表示为
$$
p(x)\cdot q(x)=\left(\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}\right)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k}
$$
其中系数$c_{k}$计算为
$$
c_{k}=\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}。
$$
因为$R$在乘法下封闭，所以系数$c_{k}$是$R$的元素，因此积是$R[x]$中的多项式。

(3) 加法是结合且交换的：$R[x]$中的多项式加法是结合且交换的，因为$R$中的加法是结合且交换的，并且对各个系数的操作遵循$R$的性质。

(4) 乘法是结合的：$R[x]$中的多项式乘法是结合的，因为分配律成立，且$R$中的乘法是结合的。因此对于$R[x]$中的多项式$p(x), q(x)$和$r(x)$，有
$$
(p(x)\cdot q(x))\cdot r(x)=p(x)\cdot(q(x)\cdot r(x)).
$$

(5) 分配律：乘法对加法是分配的，因为对于$R[x]$中的多项式$p(x), q(x)$和$r(x)$，有
$$
p(x)\cdot(q(x)+r(x))=p(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot r(x).
$$
这是因为分配律适用于$R$中的个别系数。

2. 乘法的交换性：对于任何多项式$p(x), q(x)\in R[x]$，有
$$
p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x)。
$$
这是因为$R$中的乘法是交换的。特别地，如果$p(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$且$q(x)=\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$，则积为
$$
p(x)\cdot q(x)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}x^{k}.
$$
由于$R$中的乘法是交换的，有$a_{i}b_{j}=b_{j}a_{i}$，因此
$$
p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x).
$$
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**例 14.4 (光滑函数)**
这是一个更难写出集合中所有元素的例子。令$C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$表示从$\mathbb{R}^{n}$到$\mathbb{R}$的所有无穷可微函数的集合。给定两个函数$f$和$g$，定义它们的和$f+g$为一个函数，该函数将$x\in\mathbb{R}^{n}$映射到$f(x)+g(x)$，其中加法发生在$\mathbb{R}$中。它们的乘积$fg$是一个将$x\in\mathbb{R}^{n}$映射到$f(x)\cdot g(x)\in\mathbb{R}$的函数。这也是一个环。

## §14.3 环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
我们已经看到了三个我们熟悉的环的例子。它们都是无限的。现在来看一些有限的例子。

**引理 14.3** 令$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$为整数模$n$的集合。函数
$$
\cdot: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\qquad \overline{a}\cdot\overline{b}:=\overline{a\cdot b}
$$
是良定义的。

**注** 我们用$\overline{a}$表示与$a\in\mathbb{Z}$相关联的等价类。这里，$a\cdot b$是整数的通常乘法，而$\overline{a\cdot b}$表示模$n$的等价类。

证明：我们需要证明，如果$\overline{a}=\overline{a}^{\prime}$且$\overline{b}=\overline{b}^{\prime}$，那么
$$
\overline{a\cdot b}=\overline{a^{\prime}\cdot b^{\prime}}。
$$
因为$a=a^{\prime}$模$n$当且仅当$a=a^{\prime}+An$（其中$A$是整数）。同样，$b=b^{\prime}+Bn$对于某个$B$。因此
$$
ab=(a^{\prime}+An)(b^{\prime}+Bn)=a^{\prime}b^{\prime}+(a^{\prime}B+Ab^{\prime}+AB)n
$$
因此$ab$等于$a^{\prime}b^{\prime}$模$n$。
$$
~\tag*{$\square$}
$$

**推论 14.4** 令$+$为$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上的通常加法，$\cdot$为上述运算。那么

(1) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$是一个单位元为$\overline{0}$的Abel群。

(2) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\cdot)$是一个单位元为$\overline{1}$的Abel幺半群。

(3) 运算$\cdot$对$+$是分配的。

证明：(1) 是我们早已证明的结论。

(2) 为了证明结合性，注意到
$$
\begin{aligned}
(\overline{a}\cdot\overline{b})\cdot\overline{c}&=\overline{a\cdot b}\cdot\overline{c}\\
&=\overline{(a\cdot b)\cdot c}\\
&=\overline{a\cdot(b\cdot c)}\\
&=\overline{a}\cdot\overline{b\cdot c}\\
&=\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}).\tag{14.1}
\end{aligned}
$$
除(14.1)外，每一行都是基于$\cdot$的定义，而(14.1)使用了整数乘法的结合性。交换性成立是因为
$$
\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{a\cdot b}=\overline{b\cdot a}=\overline{b}\cdot\overline{a}。
$$
注意中间等号只是整数乘法的交换性。单位元是$1$，因为$\overline{a}\cdot\overline{1}=\overline{a\cdot 1}=\overline{a}$。

(3) 分配律成立是因为
$$
\begin{aligned}
\overline{a}\cdot(\overline{b}+\overline{c})&=\overline{a}\cdot\overline{b+c}\\
&=\overline{a\cdot(b+c)}\\
&=\overline{ab+ac}\\
&=\overline{ab}+\overline{ac}\\
&=\overline{a}\cdot\overline{b}+\overline{a}\cdot\overline{c}.\tag{14.2}
\end{aligned}
$$
除了(14.2)，其他各行均基于定义，而(14.2)使用了通常整数的分配律。
$$
~\tag*{$\square$}
$$
## §14.4 交换环的动机
现代数学中有一种哲学认为，可以通过研究空间上的函数集的性质来推断空间本身的性质。例如，通过研究空间$X$上的多项式函数集，可以推断出空间$X$的某些性质。实际上，所有函数集始终是一个交换环。这些环的性质决定了空间$X$的某些特性。这并不是显而易见的，其中一些最有意义的相关发展直到19世纪80年代才出现——也就是在Descartes首先注意到代数方程可以描述具体几何近两百年后。因此，如果你认为代数（从伊斯兰黄金时期的800年代开始）和几何（源自希腊人）在Descartes将其结合起来之前经过了近千年，而我们又花了两百年才系统地理解环是研究几何的有力工具，你可能会意识到自己正在接触一些非常深刻的思想。我们无法深入探讨利用环研究几何的理论——但是如果你感兴趣，可以查阅一些关于交换代数和代数几何的资料。
## §14.5 非交换环的例子
**例 14.5 (矩阵环)**
确定一个整数$n\geqslant 0$，考虑所有元素为$\mathbb{R}$的$n\times n$矩阵的集合$M_{n\times n}(\mathbb{R})$。你可以对矩阵进行加法和乘法运算，并且矩阵乘法对加法是分配的。因此$M_{n\times n}(\mathbb{R})$是一个环。为了明确分配律，考虑三个矩阵$A, B, C$，其元素为$a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$。则$A(B+C)$的$ij$项为
$$
\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}
$$
但这个右侧是$AB+AC$的$ij$项。你也可以类似地证明$(B+C)A=BA+CA$。

**例 14.6 (群环)**
设$G$是有限群，$R$是一个交换环。那么$R[G]$作为一个集合，是从$G$到$R$的所有函数的集合。（因此每个元素$g\in G$都对应一个$R$中的元素$r_{g}$。）我们用求和表示这样的一个函数：
$$
\sum\limits_{g\in G}r_{g}g。
$$
例如，下面是$\mathbb{Z}[S_{3}]$的一个元素：
$$
5(~)+3(12)-8(123)。
$$
加法是显然的——我们仅对每一项相加，因此
$$
\left(\sum r_{g}g\right)+\sum\left(s_{g}g\right)=\sum\limits_{g\in G}(r_{g}+s_{g})g。
$$
即，这是函数的加法。乘法不仅仅是函数的乘法。$\sum r_{g} g$和$\sum s_{g} g$的乘积在$g$的系数由以下公式给出
$$
\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g}r_{g_{1}}s_{g_{2}}.
$$
换句话说，
$$
\left(\sum\limits_{g\in G}r_{g}g\right)\left(\sum\limits_{h\in G}s_{h}h\right)=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{h\in G}r_{g}s_{h}(gh)=\sum\limits_{k\in G}\left(\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g} r_{g}s_{h}\right)k.
$$
注意，这种乘法不是交换的。

## §14.6 环同态
**定义 14.4** 设$R$和$S$是环，且$f: R\to S$是一个函数。我们称$f$为一个**环同态(ring homomorphism)**，如果

(1) $f$是加法的群同态，

(2) $f(1)=1$（即$f$将$R$的乘法单位元映射到$S$的单位元），并且

(3) 对所有$a,b\in R$有$f(ab)=f(a)f(b)$。

**定义 14.5** 如果$f$是一个双射，我们称$f$是一个**同构(isomorphism)**。

现在我想进一步说明为什么$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$是一个环。我们如何证明它是一个群的？通过应用一个普遍原则：如果$H\triangleleft G$，那么$G/H$是一个群。

我想对环做同样的事情。但在这个上下文中，当我们说到环时，我们将意味着一个交换环。