Chapter 1 Mathemtical Introduction

1.1 Linear Vector Spaces: Basics

Exercise 1.1.1 Verify these claims. For the first consider $|0\rangle+|0^{\prime}\rangle$ and use the advertised properties of the two null vectors in turn. For the second start with $|0\rangle=(0+1)|V\rangle+|-V\rangle$. For the third, begin with $|V\rangle+(-|V\rangle)=0|V\rangle=|0\rangle$. For the last, let $|W\rangle$ also satisfy $|V\rangle+|W\rangle=|0\rangle$. Since $|0\rangle$ is unique, this means $|V\rangle+|W\rangle=|V\rangle+|-V\rangle$. Take it from here.

§0 历史

变分法可以说始于Newton在1687年提出的最小阻力问题，随后是由Johann Bernoulli在1696年提出的最速降线问题。这个领域立即引起了Jacob Bernoulli和Marquis de l'Hôpital的关注，但Leonhard Euler在1733年开始系统地阐述了这一主题。Lagrange受Euler的工作影响，对这一理论做出了重要贡献。在Euler看到19岁的Lagrange于1755年发表的工作后，放弃了自己部分几何的方法，转而采用Lagrange的纯解析方法，并在1756年的讲座《Elementa Calculi Variationum》中重新命名了这一学科。

Legendre在1786年提出了一种方法，用于区分极大值和极小值，但并不完全令人满意。Isaac Newton和Gottfried Leibniz也早期对这个主题给予了一些关注。在这一领域做出贡献的还有Vincenzo Brunacci（1810年）、Carl Friedrich Gauss（1829年）、Siméon Poisson（1831年）、Mikhail Ostrogradsky（1834年）和Carl Jacobi（1837年）。Sarrus（1842年）的一部重要著作被Cauchy（1844年）简化并改进。其他重要的论文和专著包括Strauch（1849年）、Jellett（1850年）、Otto Hesse（1857年）、Alfred Clebsch（1858年）和Lewis Buffett Carll（1885年）的著作，但本世纪最重要的工作或许要属Weierstrass的贡献。他关于该理论的著名课程具有划时代的意义，可以说他是第一个使变分法建立在牢固且无可争议的基础上的人。1900年发表的Hilbert第20和第23个问题进一步促进了这一领域的发展。

在20世纪，David Hilbert、Oskar Bolza、Gilbert Ames Bliss、Emmy Noether、Leonida Tonelli、Henri Lebesgue和Jacques Hadamard等人都对变分法做出了重要贡献。Marston Morse将变分法应用于现在称为Morse理论的领域。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和F.H. Clarke在最优控制理论中发展了变分法的新数学工具。Richard Bellman的动态规划是变分法的一个替代方法。

§20 Cayley-Hamilton定理

§20.1 线性变换的矩阵

定义 20.1 设 $M$ 是 $F$ 上的向量空间，并确定 $M$ 的一组基 $\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}$。（假设 $M$ 是有限维的。）那么，给定任意线性变换

$A$ 关于基 $\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}$ 的矩阵(matrix) 是满足

的矩阵。

§19 主理想整环(PID)

§19.1 多项式环

设 $F$ 为一个域，$F[t]$ 为多项式环。

定理 19.1 若 $I\subset F[t]$ 是一个理想，则存在 $p(t) \in F[t]$ 使得

即每一个理想都由一个单一的元素生成。

§18 向量空间

§18.1 张成、线性无关与基

定义 18.1 固定 $x_{1},\ldots,x_{n}\in M$。

(1) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是满射，那么称该集合张成(span) $M$。

(2) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是单射，那么称该集合在 $M$ 中是线性无关(linearly independent) 的。

(3) 如果 $X$ 同时是单射和满射，那么称该集合是 $M$ 的基(basis)。