§4 群作用

§4.1 群作用的动机

正如一位最伟大的数学家所说，让数学自己说话——不必觉得你需要为一切提供动机。如果它是美丽的，它会自己激励自己。因此，话虽如此，我不想为你动机群作用，但其历史实际上相当有趣，所以值得讨论。

所以，如果你是19世纪中期的法国或德国数学家，你对群的定义将不会是我们在上述背景中给出的那个。事实上，群被简单地定义为矩阵群 $GL_n(\mathbb{R})$ ，如果你想在一个使一切绝对美丽的世界中工作，可能会使用 $\mathbb{C}$ 。自然地，我们有一个双射：

GL_n(\mathbb{R}) \simeq \mathrm{Aut}(V),\tag{4.1}

其 $V$ 是一个维数为 $n$ 的实向量空间。因此，通过上述双射来研究 $GL_n(\mathbb{R})$ 的元素如何表现是很自然的，而不是盲目地进行行简化——这个在自同构(4.1)中的“群作用”实际上产生了你们之前学过的更抽象的线性代数理论！这实际上被称为群表示，当你有一个从 $G$ 到某个向量空间的线性自同构群的群同态时，就是群表示，我们很快也会学习到。关键是，群作用自然地从对自同构(4.1)的研究中产生，所以我们所研究的并非完全是人为构造的。要理解我们是如何从研究向量空间的线性自同构转到仅仅研究集合的自同构，事实证明，这种群作用的概念在线性代数之外的领域也是普遍存在的，所以为什么不将我们的群作用理论从向量空间“推广”到集合呢！事实证明，这种类型的过程在代数中非常重要。你需要看看你手上有什么，尝试去除任何你不一定需要用来研究“抽象理论”的结构，看看是否能得到一个有趣的理论。正是这种过程实际上促使了Emmy Nöther在20世纪初定义了我们当前的群的概念。

§4.2 群作用的定义

定义 4.1 令 $X$ 是一个集合， $G$ 是一个群。 $G$ 在 $X$ 上的群作用(group action) 是一个同态

\phi: G\to\mathrm{Aut}(X).

定义 4.2 $G$ 在 $X$ 上的一个左群作用(left group action) 是一个映射

\begin{aligned} G\times X&\to X\\ (g,x) &\mapsto gx \end{aligned}

使得

$1_{G}x=x$ 。
对于 $g,h\in G$ ， $g(hx)=(gh)x$ 。

§4.3 群作用的例子

例 4.1 令 $S^{1}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$ 。定义

\begin{aligned} \phi:S^{1}&\to \mathrm{Aut}(\mathbb{C})\\ z&\mapsto f_{z} \end{aligned}

其中， $f_{z}(\omega):=z\cdot\omega$ (绕 $z$ 旋转)。

§4.4 关于群作用的命题

命题 4.1 一个群作用确定了集合的一个映射

G\times X\to X

其中，我们将 $(g,x)$ 的值写为 $gx$ 。

映射满足 (a) $1_{G}x=x$

(b) $(gh)x=g(hx)$

反之，任何映射 $G\times X\to X$ 满足(a),(b)确定一个群作用。

证明：给定

\phi:G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)

令

\phi(g)=\phi_{g}

则令

G\times X\to X

为

(g,x)\mapsto \phi_{g}(x)

(a) 则 $\phi_{1_{G}}=\mathrm{id}_{X}$ (因为 $\phi$ 是一个同态), 所以

\begin{aligned} (1,x)\mapsto \phi_{1}(x)&=\mathrm{id}_{X}(x)\\ &=x \end{aligned}

(b) $\phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{1})\phi(g_{2})$ ，因为 $\phi$ 是一个群同态。

因此，

\phi_{g_{1}g_{2}}(x)=\phi_{g_{1}}\circ\phi_{g_{2}}(x)\qquad \forall x.

根据记号，

\begin{aligned} (g_{1}g_{2})(x)&=\phi_{g_{1}}(g_{2}x)\\ &=g_{1}(g_{2}x). \end{aligned}

反之，如果我们给定一个映射 $G\times X\to X$ 满足(a),(b)，限制映射到集合 $\{g\}\times X\subset G\times X$ 。

映射 $\{g\}\times X\to X$ 可以用下面的映射识别

\begin{aligned} \psi_{g}:X\cong \{g\}\times X&\to X\\ x\mapsto(g,x)&\mapsto x \end{aligned}

$\psi_{g}$ 是一个双射，因为(a)和(b)。首先看

\begin{aligned} \psi_{1_{G}}:X\cong\{1_{G}\}\times X&\to X\\ x\mapsto(1_{G},x)&\mapsto 1_{G}\cdot x \end{aligned}

通过(a)， $1_{G}\cdot x=x\leqslant 0$

\psi_{1_{G}}(x)=x.

这意味着 $\psi_{1_{G}}$ 是恒等双射，

\psi_{1_{G}}=\mathrm{id}_{X}.

等于从 $X$ 到 $X$ 的映射的集合上的元素。

接下来，注意到 $\psi_{g}$ 对于 $\forall g$ 是一个双射。这是因为

单射：

\begin{align*} &&\psi_{g}(x)&=\psi_{g}(y)\qquad&\text{记号}\\ &\Rightarrow&\qquad gx&=gy\qquad&\text{因为给出了$G\times X\to X$。}\\ &\Rightarrow&\qquad g^{-1}(gx)&=g^{-1}(gy)\qquad&\text{(b) ($x^{\prime}=x$ $\Rightarrow$ $hx^{\prime}=hx$, $\forall h\in G$)}\\ &\Rightarrow&\qquad 1_{G}x&=1_{G}y\qquad&\\ &\Rightarrow&\qquad x&=y\qquad&\text{(a)} \end{align*}

满射: 如果 $x\in X$ ，令 $y=g^{-1}x$ ，则

\begin{aligned} \psi_{g}(y)&=g(g^{-1}x)\\ &=(gg^{-1})x\\ &=x. \end{aligned}

所以 $\psi_{g}\in\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$ , $\forall g\in G$ 。最后， $g\mapsto \psi_{g}$ 是一个同态，因为

g_{1}g_{2}\mapsto \psi_{g_{1}g_{2}},

并且

\begin{aligned} \psi_{g_{1}g_{2}}(x)&=(g_{1}g_{2})x\\ &=g_{1}(g_{2})x\\ &=\psi_{g_{1}}(g_{2})x\\ &=\psi_{g_{1}}(\psi_{g_{2}}(x))\\ &=\psi_{g_{1}}\circ\psi_{g_{2}}(x)\qquad \forall x. \end{aligned}

\Rightarrow\qquad \psi_{g_{1}g_{2}}=\psi_{g_{1}}\circ\psi_{g_{2}}.

~\tag*{$\square$}

我们如何证明两个函数 $f,g:A\to B$ 是相同的?

说明 $f(a)=g(a)$ 对于所有 $a\in A$ 都成立。这是 $f=g$ 的定义。

所以，你可能会发现更难将群作用看成是一个映射

G\times X\to X

满足(a),(b)，相对于看成一个同态

G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)

§4.5 轨道

哲学: 给定一个群作用 $G\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$ ，我们可以把 $X$ 分裂成轨道(orbits)。

定义 4.3 令 $G$ 作用在一个集合 $X$ 上。则 $\forall x\in X$ ， $x$ 的轨道(orbits of $x$ ) 是集合

\mathcal{O}_{x}=\{y\in X\mid y=gx~\text{对于一些}~g\}

例 4.2 令 $G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$

$~~~~~~~~~\,$ 为 $g\mapsto \mathrm{id}_{X}$ (平凡作用)。

则

\begin{aligned} \mathcal{O}_{x}&=\{y\mid y=\mathrm{id}_{X}(X)\}\\ &=\{x\}. \end{aligned}

例 4.3 $G=S^{1}$ , $X=\mathbb{C}$ ,

\begin{aligned} G\times X&\to X\\ (\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},z)&\mapsto z\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \end{aligned}

则 $\mathcal{O}_{z}=\{\omega\mid\omega=z\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}~\text{对于一些}~\theta\}=$ 半径为 $|z|$ 的圆，其意味着

\mathbb{C}=\coprod_{z\in\mathbb{R}_{\geqslant 0}}\mathcal{O}_{z}

同时注意到 $\mathcal{O}_{0}=\{0\}\subset \mathbb{C}$ 。

注：令 $\mathcal{P}(X)$ 为 $X$ 的幂集。它是 $X$ 的所有子集的集合。则一个群作用确定一个映射

\begin{aligned} X&\to\mathcal{P}(X)\\ x&\mapsto\mathcal{O}_{x} \end{aligned}

它当然不会碰到 $\mathcal{P}(X)$ 的每一个元素。比如，空子集。但我们总会碰到其中的一些元素。

定义 4.6 一个群作用的轨道集合(orbit set)，或轨道空间(orbit space)，是 $X\to \mathcal{P}(X)$ 的像，我们记为

X/G

就像 $X$ 除以 $G$ 。如果 $y=gx$ ，则 $\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$ ，所以 $y$ 和 $x$ 在 $\mathcal{P}(X)$ 中有相同的像，i.e. 被映射到 $X/G$ 中相同的元素。

orbits

命题 4.2 (1) $\forall x\in X$ , $x\in\mathcal{O}_{x}$ 。

(2) $\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$ $\Leftrightarrow$ $y=gx$ ，对于一些 $g\in G$ 。

证明：(1) $x=1_{G}x$ ，所以 $x\in \mathcal{O}_{x}$ 。

(2) $\mathcal{O}_{x}=\mathcal{O}_{y}$ $\Leftrightarrow$ $y\in\mathcal{O}_{y}$ 通过(1) $\Leftrightarrow$ $y=gx$ ，对于一些 $g\in G$ ( $\mathcal{O}_{x}$ 的定义)。

~\tag*{$\square$}

我们可以通过一个一个数轨道来数 $X$ 的元素 (如果 $X$ 是有限的)。

例 4.4 令 $G$ 是一个群。 $\forall g\in G$ ，我们有一个双射

\begin{aligned} \phi_{g}:G&\to G\\ x&\mapsto gx \end{aligned}

这是一个双射，因为

$y\in G\quad \Rightarrow\quad y=g(g^{-1}y)=\phi_{g}(g^{-1}y)$ .
$\phi_{g}(y)=\phi_{g}(y^{\prime})\quad \Rightarrow\quad gy=gy^{\prime}\quad \Rightarrow\quad y=y^{\prime}$ .

更进一步，

\begin{aligned} \phi_{g_{1}g_{2}}(x)&=(g_{1}g_{2})(x)\\ &=g_{1}(g_{2}(x))\\ &=\phi_{g_{1}}\circ\phi_{g_{2}}(x) \end{aligned}

所以映射

\begin{aligned} \phi: G&\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(G)\\ g&\mapsto \phi_{g} \end{aligned}

是一个同态，i.e.，每一个群作用在自己上。

如果 $H\subset G$ 是一个子群，则

H\to G\to \mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(G)

是一个群作用。更准确来说，我们有

\begin{aligned} \phi_{h}:G&\to G\\ x&\mapsto h\cdot x \end{aligned}

$\forall h\in H$ .

命题 4.3 令 $H$ 是 $G$ 的子群。我们最后一次看到 $H$ 作用在 $G$ 上。此外， $\forall x,y\in G$ ， $|\mathcal{O}_{x}|=|\mathcal{O}_{y}|$ 。

证明：令 $h=x^{-1}y\in G$ 。则我们有映射

\begin{align*} \mathcal{O}_{x}&\to\mathcal{O}_{y}&\\ gx&\mapsto gxh&\text{在$\mathcal{O}_{y}$中，因为$gxh=gx(x^{-1}y)=gy\in\mathcal{O}_{y}$}&\\ \mathcal{O}_{y}&\to \mathcal{O}_{x}&\\ gy&\mapsto gyh^{-1}& \end{align*}

它们相互之间互为逆，因为

\begin{aligned} gx&\mapsto gxh\mapsto gxhh^{-1}=gx\\ gy&\mapsto gyh\mapsto gyh^{-1}h=gy \end{aligned}

~\tag*{$\square$}

§4.6 Lagrange定理

命题 4.4 $X=\bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$ 。

此外， $\mathcal{O}\neq\mathcal{O}^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}\cap\mathcal{O}^{\prime}=\varnothing$ .

证明：(1) 取任意元素 $x\in X$ 。

根据轨道的定义， $x$ 属于轨道 $\mathcal{O}_{x}$ (包括 $x$ 的轨道)。

因此， $x\in \bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$ 。

因为它对于每个 $x\in X$ 都成立，我们有 $X=\bigcup\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$ 。

(2) 对于集合的任意映射，

f:A\to B,

我们知道

A=\bigcup\limits_{b\in B}f^{-1}(b)

并且 $f^{-1}(b)\cap f^{-1}(b^{\prime})=\varnothing$ ，

orbits2

这里， $\mathcal{O}=f^{-1}(\mathcal{O})$ ，所以 $\mathcal{O}\neq\mathcal{O}^{\prime}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}\cap\mathcal{O}^{\prime}=\varnothing$ 。

~\tag*{$\square$}

推论 4.5 $X=\coprod\limits_{\mathcal{O}\in X/G}\mathcal{O}$ 。

推论 4.6 $|X|=\sum\limits_{\mathcal{O}\in X/G} |\mathcal{O}|$

证明： orbits3

推论 4.7 $|X|=|X/G|\cdot|\mathcal{O}_{x}|$ ，对于任意 $x\in X$ 。

命题 4.8 $|\mathcal{O}_{\mathrm{id}_{G}}|=|H|$ 。

证明：

\begin{aligned} \mathcal{O}_{\mathrm{id}_{G}}&=\{y\mid y=h\cdot \mathrm{id}_{G},~\text{对于一些}~h\in H\}\\ &=\{y\mid y=h,~\text{对于一些}~h\in H\}\\ &=H \end{aligned}

~\tag*{$\square$}

我们已经说明了如果 $G$ 是有限的，则

|\mathcal{O}_{x}|=|H|

$\forall x\in G$ 。

因此

G=\coprod \mathcal{O}_{x}

|G|=\sum_{\begin{matrix}\text{\tiny 对所有的}\\\text{\tiny 轨道求和}\end{matrix}}|H|

这意味着 $|H|$ 分裂 $|G|$ 。

这就是Lagrange定理(Lagrange's theorem):

定理 4.9 (Lagrange定理) 令 $G$ 是有限的，则 $|H|$ 分裂 $|G|$ 。

§4.7 陪集和正规子群

定义 4.7 给定 $H\subset G$ 为一个子群，我们定义

Hg=\{hg\mid h\in H\}

为 $g$ 的右陪集(right coset)。

我们看到

Hg=Hg^{\prime}\quad \text{当且仅当}~hg=g^{\prime}

对于某些 $h\in H$ 。

定义 4.8 我们定义

gH=\{gh\mid h\in H\}

为 $g$ 关于 $H$ 的左陪集(left coset)。

我们也会用 $G/H$ 表示这个集合，当可能时我们将尽量不再讨论右陪集。

例 4.6 令 $H=\langle (12)\rangle\subset S_{3}=G$ 。令 $g=(123)$ ，则有：

\begin{aligned} gH&=\{(123),(123)(12)\}\\ &=\{(123),(13)\} \end{aligned}

而

\begin{aligned} Hg&=\{(123),(12)(123)\}\\ &=\{(123),(23)\} \end{aligned}

所以一般来说 $gH\neq Hg$ 。

定义 4.9 一个子群 $H\subset G$ 被称为是正规的(normal)，如果 $\forall g\in G$ ,

\{ghg^{-1}\mid h\in H\}=H

等号左边也被写成 $gHg^{-1}$ , i.e. $H$ 是正规的当且仅当

gHg^{-1}=H.

我们记为 $H\triangleleft G$ 。

命题 4.10 (1) $gH=gH^{\prime}$ 当且仅当存在 $h\in H$ 使得 $gh=g^{\prime}$ 。

$gH$ 是一个从右侧的群作用的轨道： $X\times H\to X$ 。因此我们对群 $G/H$ 的定义是相同的——相同的元素，相同的运算。

(2) 当且仅当 $H\triangleleft G$ 时，有 $gH=Hg$ 对于所有 $g\in G$ 。

证明：(1) 若 $gH=g^{\prime}H$ $\Rightarrow$ $\exists h_{1}, h_{2}\in H$ , s.t. $gh_{1}=g^{\prime}h_{2}$ 。

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $gh_{1}h_{2}^{-1}=g^{\prime}$ 。

设 $h_{1}h_{2}^{-1}=h$ ，则得到

gh=g^{\prime}

(2) $gH=Hg$ $\Rightarrow$ $\forall h\in H$ , $\exists h^{\prime}\in H$ , s.t. $gh=h^{\prime}g$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $ghg^{-1}=h^{\prime}$ , i.e. $\forall h\in H$ , $ghg^{-1}\in H$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $gHg^{-1}\subset H$ , $\forall g\in G$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $H\triangleleft G$ 。

$H\triangleleft G$ $\Rightarrow$ $ghg^{-1}\in H$ , $\forall g\in G$ , $h\in H$

$~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $\forall g\in G$ , $h\in H$ , $\exists h^{\prime}\in H$ , s.t. $ghg^{-1}=h^{\prime}$

$~~~~~~~~~~~\Rightarrow$ $\forall g\in G$ , $h\in H$ , $\exists h^{\prime}\in H$ , $gh=h^{\prime}g$ 。

~\tag*{$\square$}

§4.8 指数

定义 4.8 设 $H \subset G$ 是一个子群。 $H$ 在 $G$ 中的指数(index) 是 $G/H$ 中的元素数量。它记作

[G:H]:= |G/H|=\#~\text{陪集}~Hg =\#~\text{轨道}~\mathcal{O}_{g}

命题 4.11 假设 $K \subset H \subset G$ 是子群。（ $H$ 是 $G$ 的子群， $K$ 是 $H$ 的子群。注意这也意味着 $K$ 是 $G$ 的子群。）那么

[G:K] = [G:H][H:K]。

证明：在Lagrange定理的证明中，我们看到

G = \bigsqcup\limits_{\mathcal{O}_{g} \in G/H} \mathcal{O}_{g}

即 $G$ 是 $H$ 作用在 $G$ 上的轨道的不交并。此外，所有轨道都有相同的大小 $|\mathcal{O}_{g}| = |H|$ ，对所有 $g \in G$ 成立。

因此，

|G| = n \cdot |H|

其中 $n$ 是不同轨道的数量，即 $n = [G:H]$ 。

因此，

[G:K] = |G| / |K| = (|G| / |H|) \cdot (|H| / |K|) = [G:H][H:K]。

~\tag*{$\square$}

这个命题将许多概念联系在一起。

命题 4.12 在一个群中，任何指数为 $2$ 的子群都是正规子群。

证明：由于 $H$ 在 $G$ 中的指数为 $2$ ，所以 $H$ 在 $G$ 中恰有两个不同的左陪集：

G = H \cup gH

其中 $g \in G \setminus H$ 。类似地，恰有两个右陪集：

G = H \cup Hg

对于相同的 $g$ 。

我们将根据元素 $g$ 是否属于 $H$ 或 $G \setminus H$ 来考虑两种情况。

$g \in H$ ：如果 $g \in H$ ，那么：

gH = H = Hg

因为 $H$ 是一个子群，且在群运算下封闭。因此，左陪集和右陪集是相同的。

$g \in G \setminus H$ ：如果 $g \notin H$ ，那么 $gH$ 和 $Hg$ 是除 $H$ 之外的另一个陪集。由于只有两个陪集，因此有：

gH = G \setminus H = Hg

因此，左陪集和右陪集再次相同。

在两种情况下，对于所有 $g \in G$ ，都有 $gH = Hg$ 。左陪集和右陪集的相等意味着 $H$ 是 $G$ 的正规子群。

~\tag*{$\square$}

§4.9 轨道——稳定子定理

定义 4.9 设 $\phi:G\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{set}}(X)$ 为群作用。给定 $x\in X$ ，则 $x$ 的稳定子(stabilizer) 为子群

\begin{aligned} G_{x}&=\{g\mid gx=x\}=\{g\mid\phi_{g}(x)=x\}\\ &\subset G \end{aligned}

命题 4.13 $G_{x}$ 是 $G$ 的一个子群。

证明：因为 $\phi_{g}(x)=x$ 和 $\phi_{g^{\prime}}(x)=x$ 。

$\Rightarrow x=\phi_{g}(x)=\phi_{g}(\phi_{g^{\prime}}(x))=\phi_{gg^{\prime}}(x)$ 且 $\phi_{1_{G}}(x)=\mathrm{id}_{X}x=x$ 。

~\tag*{$\square$}

现在，给定 $G$ 在 $X$ 上的作用，我们可以将 $x\in X$ 关联到两件事物：

\begin{array}{cc} G_{x}\subset G, & \mathcal{O}_{x}\subset X\\ \text{稳定子} & \text{轨道} \end{array}

命题 4.14 函数

\begin{aligned} G/G_{x}&\to \mathcal{O}_{x}\\ gG_{x}&\mapsto gx=\phi_{g}(x) \end{aligned}

是一个双射。

证明：它是良定义的，因为

\begin{aligned} gG_{x}=g^{\prime}G_{x} &\Rightarrow g^{\prime}=gh~\text{对于某些}~h\in G_{x}\\ &\,\begin{aligned} \Rightarrow g^{\prime}x&=(gh)x\\ &=g(hx)\\ &=gx \end{aligned} \end{aligned}

单射性：

\begin{aligned} g^{\prime}x=gx &\Rightarrow g^{-1}\cdot g^{\prime}x=x\\ &\Rightarrow g^{-1}\cdot g^{\prime}\in G_{x}\\ &\Rightarrow g^{\prime}=gh~\text{对于某些}~h\in G_{x}\\ &\Rightarrow gG_{x}=g^{\prime}G_{x} \end{aligned}

满射性： $x^{\prime}\in\mathcal{O}_{x} \Rightarrow x^{\prime}=gx$ 对于某些 $g\in G$ 。

~\tag*{$\square$}

推论 4.15（轨道——稳定子定理） 如果 $|G_{x}|$ , $|\mathcal{O}_{x}|$ 是有限的，那么 $|G|$ 也是有限的。此外， $|G|=|G_{x}||\mathcal{O}_{x}|$ 。

证明：根据命题，在左陪集 $G/G_x$ 与轨道 $\mathcal{O}_x$ 之间存在双射关系，因此：

陪集的数量： $|G/G_x| = |\mathcal{O}_x|$ 。

每个左陪集 $gG_x$ 恰好包含 $|G_x|$ 个元素，因为 $G_x$ 是 $G$ 的一个子群。

因此， $G$ 的元素总数是陪集的数量与每个陪集的大小的乘积：

|G| = |G/G_x| |G_x| = |\mathcal{O}_x||G_x|。

由于 $|\mathcal{O}_x|$ 和 $|G_x|$ 均为有限，因此它们的乘积 $|G|$ 也是有限的。

因此，如果 $|G_x|$ 和 $|\mathcal{O}_x|$ 是有限的，则 $G$ 是有限的，其大小为 $|G| = |G_x||\mathcal{O}_x|$ 。

~\tag*{$\square$}

这就是所谓的轨道——稳定子定理，它非常棒。

例 4.6 令 $P_n \subset \mathbb{R}^2$ 为在原点处的正 $n$ 边形。令 $D_{2n} \subset GL_2(\mathbb{R})$ 为线性变换的群，使得

\forall g \in D_{2n}, \quad g(P_n) = P_n。

这意味着 $g(P_n) \subset P_n$ ，且 $P_n \subset g(P_n)$ 。但不意味着 $g(x) = x$ ，对于所有 $x \in P_n$ 。

即， $D_{2n}$ 是 $P_n$ 的线性对称群。

命题 4.16 $|D_{2n}|=2n$

定义 4.10 $D_{2n}$ 称为第 $n$ 二面体群( $n$ th dihedral group)。

集合 $P_n$ 不会有帮助——它有无穷多的元素。但是，如果 $D_{2n}$ 作用于 $P_n$ ，它必须对 $P_n$ 的顶点 $v_1, v_2, \ldots, v_n$ 进行排列。因此 $D_{2n}$ 作用于集合 $V = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ 。

给定某个顶点 $v_i$ ，我们可以看到

\mathcal{O}_{v_i} = V。

为什么？旋转 $\frac{2\pi}{n}$ 是线性的，并且将 $P_n$ 变换为 $P_n$ （因为我们选择了 $P_n$ 以其中心在原点）。因此，旋转 $\frac{2\pi k}{n}$ 属于 $D_{2n}$ ，并且旋转 $v_i$ 通过 $\frac{2\pi k}{n}$ 会命中每个 $v_j$ 。

那么稳定子是什么？

如果 $v_i$ 被固定，那么 $g \in D_{2n}$ 对 $v_{i-1}$ 和 $v_{i+1}$ 能做什么呢？

如果 $g(v_{i-1})=v_{i-1}$ ，则我们有两个线性独立的向量—— $v_i$ 和 $v_{i-1}$ 被 $g$ 固定。因此 $g = \text{id}_{\mathbb{R}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 。
否则， $g(v_{i-1}) = v_{i+1}$ 。则 $g$ 必须是关于穿过原点 $\vec{O}$ 和 $v_i$ 的直线的反射。

所以恰好存在两个 $D_{2n}$ 的元素固定 $v_i$ 。即， $v_i$ 的稳定子的序数为 2（因此同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ）。

根据轨道-稳定子定理，

\begin{aligned} |D_{2n}|&=2 \cdot |\mathcal{O}_{v_i}|\\ &=2 \cdot |V|\\ &=2 \cdot n。 \end{aligned}

例 4.7 （旋转对称性） 设 $T$ 为以原点为中心的正四面体。令 $G \subset SO_3(\mathbb{R})$ 为满足 $g(T) = T$ 的旋转群。

那么 $G$ 作用于 $T$ 的顶点集。 $T$ 有四个顶点： $v_1, v_2, v_3, v_4$ 。

首先计算某些 $v_i$ 的稳定子。如果 $g$ 是一个固定 $v_i$ 的旋转，它必须旋转 $v_i$ 对面的面，并固定穿过 $v_i$ 的直线。

然后有三种可能的平面旋转——每种旋转分别为 $\frac{2\pi}{3}$ , $\frac{4\pi}{3}$ 或 $0$ 弧度。因此 $v_i$ 的稳定子是一个阶为 3 的群（因此同构于 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ）。

轨道是什么？每一个顶点！因为如果你想找到 $g$ 使得 $g(v_i) = g(v_j)$ ，则选择一个旋转固定某个 $v_k$ ，且 $v_k \neq v_i, v_j$ ，并旋转！