§3 群的映射

每当你定义一个想法时，最好能知道这个想法是哪些函数的朋友。

提问： 我们要研究哪些类型的函数?

例 3.1

§3.1 群同态

§3.1.1 群同态的定义

定义 3.1 令$G,H$是群。从$G$到$H$的一个群同态(group homomorphism) 是一个函数

使得 $\forall g_{1}, g_{2}\in G$,

§3.1.2 群同态的例子

$\begin{aligned} \text{\textbf{\small{例 3.2}}}~\exp:(\mathbb{R},+)&\to \mathbb{R}^{\times}~\text{是一个群同态。}\\ t&\mapsto \mathrm{e}^{t} \end{aligned}$

证明：$\forall t_{1},t_{2}\in(\mathbb{R},+)$,

$\begin{aligned}\text{\textbf{\small{例 3.3}}}~\det: GL_{n}(\mathbb{R})&\to\mathbb{R}^{\times}~\text{是一个群同态。}\\ M&\mapsto \det(M) \end{aligned}$

证明：$\forall M_{1},M_{2}\in GL_{n}(\mathbb{R})$,

$\begin{aligned}\text{\textbf{\small{例 3.4}}}~(\mathbb{R},+)&\to S^{1}~\text{是一个群同态。}\\ t&\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \end{aligned}$

证明：$\forall t_{1},t_{2}\in(\mathbb{R},+)$,

例 3.5 如果$V,W$是向量空间，它们在加法$+$下是群。任意线性映射

是一个群同态。任何线性子空间是一个子群。

证明：(a) 向量空间$V$是群, 因为$V$满足

(1) 结合律: $V$中得加法满足结合律, i.e. 对于$u,v,w\in V$, $(u+v)+w=u+(v+w)$;

(2) 恒元: 存在一个元素$0\in V$, 使得对于任意$v\in V$, 都有$v+0=v$;

(3) 逆元: 对于任意$v\in V$, 存在$-v\in V$, 使得$v+(-v)=0$。

(b) 任何两个向量空间$V$和$W$之间的线性映射$\phi:V\to W$是一个群同态, 因为$\phi$满足

(1) 同态的性质: 对于任意$u, v\in V$, 有

(2) 保持恒元: 因为$\phi$是线性的,

其中, $0_{V}$和$0_{W}$分别是$V$和$W$中的恒元;

(3) 保持逆元: 对于任意$v\in V$,

由于$\phi$的线性性, 依赖于标量乘法和加法逆元的$\phi$的这条性质成立。

(c) 任意线性子空间是一个子群, 因为

• 一个线性子空间$U\subseteq V$在加法下也是一个群, 因为它继承了$V$的群结构;

• $V$的恒元$0_{V}$也是$U$中的恒元;

• $U$中的逆元也从$V$中继承。

§3.1.3 群同态的性质

命题 3.1 令$\phi:G\to H$是一个群同态。我们有

(a) $\phi(1_{G})=1_{H}$。

(b) $\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$。

证明：(a) 对于任意$g\in G$,

令$h$是$\phi(g)$的逆。则

(b) $1_{H}=\phi(1_{G})=\phi(g\cdot g^{-1})=\phi(g)\cdot\phi(g^{-1})\quad \Rightarrow \phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}$

命题 3.2 $\mathrm{id}_{G}: G\to G$是一个同态。

证明：考虑恒等映射$\mathrm{id}_{G}:G\to G$定义为$\mathrm{id}_{G}(g)=g$, 对于任意$g\in G$。要说明$\mathrm{id}_{G}$是一个同态, 我们需要说明:对于任意$g_{1}$, $g_{2}\in G$, 我们有

对于任意$g_{1}$, $g_{2}\in G$, 我们有

所以, 我们有

因此, $\mathrm{id}_{G}:G\to G$是一个同态。

命题 3.3 如果 $G\stackrel{\phi}{\longrightarrow}H$, $H\stackrel{\psi}{\longrightarrow}K$是同态，那么$\psi\circ\phi$是一个同态。

证明：为了证明两个同态映射$\phi$和$\psi$的复合映射也是一个同态, 我们需要验证$\psi\circ\phi$满足: 对于任意$g_{1}, g_{2}\in G$, 有

根据复合映射的定义, 我们得到

应用$\phi$的同态性质, 我们得到

再应用$\psi$的同态性质, 我们得到

根据复合映射的定义, 我们有

至此, 我们证明了

因此, 如果 $G\stackrel{\phi}{\longrightarrow}H$, $H\stackrel{\psi}{\longrightarrow}K$是同态，那么$\psi\circ\phi$是一个同态。

命题 3.4 如果$H\subset G$是一个子群，那么包含映射$i: H\hookrightarrow G$是一个同态。

证明：为了证明包含映射$i: H \hookrightarrow G$是一个同态, 其中$H \subset G$是一个子群, 我们需要验证同态性质: 对于所有$h_1, h_2 \in H$,

包含映射$i:H\hookrightarrow G$定义为: 对于任意$h\in H$, 有

根据包含映射的定义, 对于任意$h_{1}, h_{2}\in H$, 有

所以

同时, $h_1 \cdot h_2\in H$, 根据包含映射定义

因此, 对于任意$h_1, h_2 \in H$, 有

即: 包含映射$i: H \hookrightarrow G$是一个同态。

§3.1.4 群同态的核和像

定义 3.2 给定一个群同态

$\phi$的核(kernel) 是集合

$\phi$像(image) 是集合

命题 3.5 $\ker(\phi)\subset G$, $\mathrm{im}(\phi)\subset H$是子群。

证明：$\ker(\phi)$是$G$的子群, 因为:

(1) $\phi(g_{1}), \phi(g_{2})=1_{H}$

(2) $\phi(1_{G})=1_{H}$, 所以$1_{G}\in\ker(\phi)$.

(3) $\phi(g)=1_{H}$

$\mathrm{im}(\phi)$是$H$的子群, 因为

(1) $h_{i}=\phi(g_{i})$ $\Rightarrow$ $h_{1}h_{2}=\phi(g_{1})\phi(g_{2})=\phi(g_{1}g_{2})$.

(2) $\phi(1_{G})=1_{H}$, 所以$1_{H}\in\mathrm{im}(\phi)$.

(3) $h=\phi(g)$ $\Rightarrow$ $h^{-1}=\phi(g^{-1})$.

§3.2 群同构

§3.2.1 群同构的定义

定义 3.3 如果一个群同态$\phi$是一个双射，那么$\phi$被称为是一个群同构(group isomorphism)。

同构不是等于，就像集合的双射不是等于一样。

例 3.6 五个香蕉的集合不等于五个苹果的集合。

但我们是用同构对群的分类，就像我们用双射对集合分类。

§3.2.2 群同构的例子

例 3.7 $\exp:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}_{>0},\times)$是一个群同构。

证明：为了证明$\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \times)$是一个群同构, 我们需要说明两点:

(1) 同态: $\exp$保持群作用, i.e., 对于任意$x, y \in \mathbb{R}$, 都有

(2)双射: $\exp$是一个双射, 意味着它同时是一个单射和满射。

现在让我们进行验证:

对于$x, y \in \mathbb{R}$,

应用指数的性质,

因此, $\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$, 说明了$\exp$是一个同态。

为了说明$\exp$是单射, 假设对于一些$x, y \in \mathbb{R}$有$\exp(x) = \exp(y)$。

在等式两边取自然对数(这都是有效的, 因为对于所有$x$, 都有$e^x > 0$),

因此, $\exp$是单射。

为了说明$\exp$是满射, 我们需要说明对于任意$y \in \mathbb{R}_{>0}$, 存在$x \in \mathbb{R}$使得$\exp(x) = y$。

因为$y > 0$, 存在$x = \ln(y) \in \mathbb{R}$ (其中, $\ln$表示自然对数) 使得$\exp(x) = e^{\ln(y)} = y$。

因此, $\exp$是满射。

因为$\exp$既是一个同态又是一个双射, 它在$(\mathbb{R}, +)$和$(\mathbb{R}_{>0}, \times)$之间是一个群同构。

因此, $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_{>0}, \times)$是一个群同构。

定理 3.6 每个阶为 $n$ 的有限循环群都同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。

证明：设 $G=\langle g\rangle$ 是一个阶为 $n$ 的循环群。定义函数 $\phi: G \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 为

(1) 同态性：

另一方面，

两边相同，所以 $\phi$ 是一个同态。

(2) 单射性：如果 $\phi(g^{a})=\phi(g^{b})$，则 $a\equiv b \pmod n$，意味着 $g^{a}=g^{b}$。

(3) 满射性：对于任意 $k\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，我们有 $\phi(g^{k})=k \pmod n$。

§3.2.3 群同构的性质

命题 3.7 如果$\phi:G\to H$是一个群同构, $\phi^{-1}$是一个群同构。 证明: 很明显, 它是一个双射。需要证明$\phi^{-1}$是一个同态: $\forall g_{1},g_{2}\in G$, $h_{1}=\phi(g_{1}),h_{2}=\phi(g_{2})$, 我们有

§3.3 乘积群

乘积群是一种通过组合已知群的元素和运算来构造新群的方法。

定义 3.4 给定两个群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$，乘积群(product group) $G_{1}\times G_{2}$ 是有序对的集合：

其群运算定义为

命题 3.8 给定两个群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$，$G_{1}\times G_{2}$ 是一个群。

证明：(1) 结合性：由 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的结合性直接得出。

(2) 单位元：$(1_{G_{1}},1_{G_{2}})$ 是单位元。

(3) 逆元：$(g_{1},g_{2})^{-1}=(g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})$。

例 3.8 (实数的Cartesian积) 群 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 在标准加法下与Euclid平面 $\mathbb{R}^{2}$ 同构。

例 3.9 (Klein四元群) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 被称为Klein四元群(Klein four group)。它是最小的非循环群。

例 3.10 如果 $\{z\in T\subset \mathbb{C}: |z|=1\}$，则 $\mathbb{C}^{\times}=\mathbb{R}^{\times}\times T$。

§3.4 自同构

理解乘积群自然引出了对群内对称性的研究。自同构是一个从群映射到自身的双射同态，它描述了群的结构如何以不同的方式映射到自身。当自同构应用于乘积群时，尤其引人注目，因为它揭示了多个群的内部结构在映射下如何相互作用。

定义 3.5 令$X$是一个集合。我们记

为从$X$到它本身的双射的集合。

命题 3.9 $\mathrm{Aut}(X)$在复合下构成一个群。

证明: $\mathrm{Aut}(X)$在复合下是一个群, 因为

(1) 复合函数是结合的:

$\begin{aligned} (2)~\mathrm{id}_{X}:X&\to X\text{是恒元}, \text{因为}f\circ \mathrm{id}_{X}=\mathrm{id}_{X}\circ f=f.\\ x&\mapsto x \end{aligned}$

(3) $f^{-1}$是$f$的逆:

§3.5 对称群

定义 3.6 令

则

是$n$个元素的集合上的对称群(symmetric group)。

例 3.11 下面是对称群的例子:

• $n=1$: $\mathrm{Aut}(\{1\})$是有一个元素的群:

• $n=2$: $\mathrm{Aut}(\{1,2\})$是由两个元素的群:

其满足

• $S_{3}$有$3!$个元素。我们将很快学到它的结构。

• 一般地, $S_{n}$是有$n!$元素的群。

定义 3.7 集合$G$上的对称群是从$G$到其自身的所有双射构成的群：

该群包含了$G$的所有元素的排列。当$G$是一个包含$n$个元素的有限集合时，$\mathrm{Sym}(G)$本质上与$S_n$相同，但这种推广允许我们考虑任何集合$G$上的排列，不论其基数大小。

对称群在群论的研究中是基本的，因为它们通过涵盖有限集合的所有可能排列，捕捉了对称性的本质。令人感兴趣的是，每个群，无论是有限的还是无限的，都可以表示为排列群的一个子群。这一深刻的联系由Cayley定理形式化了。

§3.6 Cayley定理

定理 3.10 (Cayley定理) 每个群$G$同构于集合$G$上的对称群$\mathrm{Sym}(G)$的一个子群。

证明：令$G$为任意群。我们的目标是构造一个单射群同态$\phi: G \to \mathrm{Sym}(G)$，从而证明$G$同构于$\mathrm{Sym}(G)$的一个子群。

对于每个元素$g \in G$，定义一个由左乘法确定的函数$L_g: G \to G$：

由于$G$是一个群，每个$L_g$都是一个双射（其逆为$L_{g^{-1}}$），因此$L_g \in \mathrm{Sym}(G)$。

定义映射$\phi: G \to \mathrm{Sym}(G)$为

• 同态性质：对于所有$g_1, g_2 \in G$和$h \in G$，

因此，$\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \circ \phi(g_2)$，所以$\phi$是一个群同态。

• 单射性：假设$\phi(g) = \phi(h)$，对于某些$g, h \in G$。那么对于所有$k \in G$，

特别地，当$k$是$G$的单位元$e$时，

因此，$\phi$是单射的。

由于$\phi$是一个单射同态，$G$同构于$\mathrm{Sym}(G)$的子群$\phi(G)$。

Cayley定理揭示了每个群都可以看作是排列的群，强调了对称群在理解所有群的结构中的核心作用。