§2 子群

§2.1 子群的定义

定义 2.1 令 $G$ 是一个群，并且 $H \subset G$。 $H$ 被称为是 $G$ 的一个子群(subgroup)，如果满足

(1) $\forall h_1, h_2 \in H$，$h_1 h_2 \in H$ 。(在乘法下封闭)

(2) $1_G \in H$ 。

(3) 如果 $h \in H$ ，则 $h^{-1} \in H$ 。

§2.2 子群的例子

例 2.1 $\mathbb{R}_{>0} \subset \mathbb{R}^{\times}$是一个子群。

证明: $\mathbb{R}_{>0}$ 是一个 $\mathbb{R}^{\times}$的一个子群，因为

(1) $\forall h_1, h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$, $h_1 h_2 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(2) $1 \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

(3) 如果 $h \in \mathbb{R}_{>0}$，则 $h^{-1}=\frac{1}{h} \in \mathbb{R}_{>0}$ 。

例 2.2 $\mathbb{Z}_{\geqslant 0} \subset(\mathbb{Z},+)$ 不是一个子群。

证明： $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群，因为不是所有元素 $z \in \mathbb{Z}$ 有一个逆。举例而言， $z=1$ ，它的逆应该是$-1$，但它不在 $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 中。

例 2.3 $SL_n(\mathbb{R}):=\left\{M \in GL_n(\mathbb{R}) \mid \det M=1\right\} \subset GL_n(\mathbb{R})$ 是一个子群。

证明： $SL_n(\mathbb{R})$ 是 $GL_n(\mathbb{R})$ 的一个子群，因为

(1) $\forall M_1, M_2 \in SL_n(\mathbb{R}) ， M_1 M_2 \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为

(2) 单位矩阵 $1_{GL_n(\mathbb{R})} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(1_{GL_n(\mathbb{R})}\right)=1$ 。

(3) $\forall M \in SL_n(\mathbb{R})$ ，则 $M^{-1} \in SL_n(\mathbb{R})$ ，因为 $\det\left(M^{-1}\right)=\frac{1}{\det(M)}=1$ 。

例 2.4 令 $\mathbb{C}^{\times}:=\mathbb{C} \backslash\{0\}$ 。定义 $m$ 为复数乘法: $\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}^{\times}$，

我们有

(a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群。

(b) 令

则 $S^1 \subset \mathbb{C}^{\times}$是一个子群。

证明: (a) $\mathbb{C}^{\times}$是一个群，因为

(1) 复数乘法满足结合律。

(2) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}, 1 \times z=z \times 1=z$ 。

(3) $\forall z \in \mathbb{C}^{\times}$， 令 $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{\|z\|^2}$ 。

(b) $S^1$ 是 $\mathbb{C}^{\times}$的一个子群，因为

(1) $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1 \Rightarrow\left|z_1 \times z_2\right|=1$ ，所以 $S^1$ 在 $\times$ 下封闭。

(2) $|1|=1$ ，所以恒元在 $S^1$ 中。

(3) 如果 $|z|=1$ ，则 $|\bar{z}|=1$ ，并且 $z^{-1}=\bar{z}$。