§12 单群与Hölder计划

§12.1 单群

有些群不能由其他群构建出来。例如，如果 $H$ 不允许任何（非平凡的）正规子群呢？那么就不可能有短正合列，除非 $H \cong K$ 或 $G \cong H$ 。在这种意义上，没有正规子群的群是最简单的群。

定义 12.1 一个群 $H$ 称为单群(simple group)，如果它没有非平凡的正规子群。

例 12.1 一个循环群当且仅当它是有限的素数阶时是单群。(如果它是素数阶，它是单群，因为它没有子群，除了它本身和 $\{1\}$ 。另一方面，阶为 $n$ 的循环群对于每一个除以 $n$ 的数 $n/k$ 都有一个子群；例如，取任意生成元 $x$ 的集合 $\{1, x^{k}, \ldots\}$ 。因此，循环群在它是素数阶时是单群。)

例 12.2 $\mathbb{Z}$ 不是单群。（它有很多子群，并且Abel群的任意子群都是正规子群。）

例 12.3 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是单群。（ $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 都有一个元素。根据第一个同构定理， $A_{3}$ 是 $S_{3}$ 的指数为 $2$ 的子群——它是阶为 $3$ 的群，属于素数阶的循环群。）

例 12.4 $A_{4}$ 不是单群。（我们需要找到一个非平凡的正规子群。这个群唯一的非平凡正规子群由2个循环的乘积元素构成。这个正规子群同构于Klein四元群，而商群是阶为 $3$ 的循环群。）

定理 12.1 对于 $n\geqslant 5$ ， $A_{n}$ 是一个单群。

证明：为了证明 $n \geqslant 5$ 时交错群 $A_n$ 是单群，我们需要证明 $A_n$ 除了平凡子群 $\{e\}$ 和 $A_n$ 本身外没有其他正规子群。

设 $N$ 是 $A_n$ 的一个正规子群，且 $N \neq \{e\}$ 。我们将证明 $N = A_n$ ，从而证明 $A_n$ 是单群。

$N$ 包含一个3-循环：

因为 $N$ 是非平凡的，存在一个非恒等元 $\sigma \in N$ 。我们考虑 $\sigma$ 的互不相交的循环分解中的循环类型。

情况1：如果 $\sigma$ 包含一个3-循环，则 $N$ 包含一个3-循环。

情况2：如果 $\sigma$ 不包含3-循环，我们将通过以下步骤证明 $N$ 仍然包含一个3-循环。

共轭与正规性：

因为 $N$ 在 $A_n$ 中是正规子群，对于任意 $\tau \in A_n$ ，共轭 $\tau \sigma \tau^{-1} \in N$ 。该性质使我们能够从已有的元素中生成 $N$ 中的新元素。

生成3-循环：

将元素表示为3-循环的乘积：

任何偶置换都可以表示为3-循环的乘积。例如，长度为 $k \geqslant 3$ 的循环 $(a_1\, a_2\, \dots\, a_k)$ 可以写成：

(a_1\, a_2\, a_3)(a_1\, a_3\, a_4)\dots(a_1\, a_{k-1}\, a_k)

使用对易子得到3-循环：

考虑 $\sigma$ 和适当的 $\tau \in A_n$ 。换位子 $\gamma = \sigma \tau \sigma^{-1} \tau^{-1}$ 是 $N$ 的一个元素（因为 $N$ 是正规子群）且可以是3-循环。

$N$ 包含所有3-循环：

共轭类：

在 $A_n$ 中，3-循环分为两个共轭类，但它们的并集是所有3-循环的集合。因为 $N$ 包含至少一个3-循环且是正规子群，它必须包含该共轭类的所有3-循环。

用3-循环生成 $A_n$ ：

当 $n \geqslant 5$ 时，群 $A_n$ 由其3-循环生成。因此，由所有3-循环生成的 $A_n$ 的子群是 $A_n$ 本身。

结论：因为 $N$ 包含所有3-循环， $N$ 生成 $A_n$ 。因此， $N = A_n$ 。

因此，当 $n \geqslant 5$ 时， $A_n$ 是单群。

~\tag*{$\square$}

§12.2 Hölder计划

现在我们已经看到了很多群的例子，我们想开始对它们进行分类。我们是否可以想出一个一般的策略来帮助我们说：“我知道所有的群”？

问题：我们如何分类所有群？

在某种程度上，这个问题没有一个令人满意的答案。我们可以尝试了解所有的单群，然后了解它们的构造方式。19世纪开始的策略被称为Hölder计划。它看起来很自然。问题是，我们不知道如何执行它。我们甚至无法分类所有有限单群。

那么我们是否可以了解所有有限单群及其扩张？这至少会分类所有有限群。我们仍然不知道如何做到这一点。我们可以在1985年左右对所有有限单群进行分类，但我们仍然不知道如何解决分类其扩张的问题。为了让您了解分类的困难程度，请考虑以下定理为Thompson赢得了Fields奖：

定理 12.2 （Feit-Thompson或奇数阶定理） 每个有限的非Abel单群都有偶数阶。

因此，例如，如果你给我一个非Abel群，其阶是奇数，我就知道它不是单群。

定义 12.2 用于分类群的Hölder计划(Hölder program) 为：

(1) 分类所有单群。

(2) 分类所有构造单群扩张的方式。

我们不知道如何完成这个计划。例如，我们不知道如何做第(1)步。我们只知道如何对有限单群进行分类，并且直到1985年才完成这一工作。即使对于有限群，我们也没有完成第(2)步。

§12.3 可解群

继Hölder计划的重点关注复杂群结构的理解和分解后，我们现在探讨可解群，这些群可以系统地分解为简单的Abel分量。

定义 12.3 群 $G$ 称为可解的（Solvable），如果它有一个有限的子群序列

G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright\cdots\triangleright G_{n}=\{e\}

使得每个 $G_{i}$ 在 $G_{i-1}$ 中是正规子群且相应的商群 $G_{i-1}/G$ 是Abel的。

注群是“可解的”，因为它可以被分解为更小、更简单的部分，最终达到平凡群。

例 12.5 每个循环群都是Abel群，因此它是平凡地可解的。

例 12.6 $S_{3}$ 是可解的。正规序列： $S_{3}\triangleright A_{3}\triangleright\{e\}$ 。商群： $S_{3}/A_{3}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ，且 $A_{3}/\{e\}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 。它们都是Abel的，因此 $S_{3}$ 是可解的。

例 12.7 $S_{5}$ 不是可解的。缺乏合适的正规序列突显了可解群和更复杂群之间的差异。

命题 12.3 可解群的每个子群都是可解的。

证明：一个可解群 $G$ 有一个子群链：

G=G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{e\},

其中每个商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 都是Abel的。

设 $H \subseteq G$ 为子群。我们可以将 $H$ 与链中的每个群相交：

H \cap G_{0} \triangleright H \cap G_{1} \triangleright \dots \triangleright H \cap G_{n}=\{e\}。

每个商群 $(H\cap G_{i-1})/(H \cap G_{i})$ 是Abel商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 的子群，因此它也是Abel的。

这给出了 $H$ 的一个Abel商群的正规序列，意味着 $H$ 是可解的。

~\tag*{$\square$}

命题 12.4 可解群的商群是可解的。

证明：如果群 $G$ 是可解的，则它有一个正规子群链：

G=G_{0}\triangleright G_{1} \triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{e\},

其中每个商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 都是Abel的。

设 $N \triangleleft G$ 为正规子群，我们想要证明商群 $G/N$ 是可解的。

利用 $G$ 的链在商群中形成一个新链：

G_{0}/N \triangleright G_{1}/N \triangleright \dots \triangleright G_{n}/N= \{e\}.

每个新的商群：

(G_{i-1}/N)/(G_{i}/N) \cong G_{i-1}/G_{i}

是Abel的，因为原始商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 是Abel的。

因此，商群 $G / N$ 是可解的。

~\tag*{$\square$}

关于可解群的讨论展示了如何将群分解为更简单的组成部分。虽然可解群结构清晰且易于处理，但非可解群（如单群）的研究在理解群论的广泛图景中仍然至关重要。

在下一章中，我们将继续探讨群论中的更多专门结果，例如Sylow定理，它为有限群的结构提供了更深刻的见解。

目录

§12 单群与Hölder计划

§12.1 单群

§12.2 Hölder计划

§12.3 可解群