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§11 短正合序列和半直积
2024-07-12
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00

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§11 短正合序列与半直积
§11.1 扩张——短正合序列
§11.2 分裂短正合序列
§11.3 半直积

§11 短正合序列与半直积

§11.1 扩张——短正合序列

定义 11.1 群的短正合序列(short exact sequence) 是由两个同态构成的序列

G→H→KG\to H\to K

满足以下条件：

(1) G→HG\to H 是一个单射，

(2) H→KH\to K 是一个满射，并且

(3) H→KH\to K 的核等于（不仅仅是同构）G→HG\to H 的像。

一个短正合序列通常写作

1→G→H→K→1.1\to G\to H\to K\to 1.

定义 11.2 我们也称 HH 是 KK 被 GG 扩展的扩张(extension)。

问题：两端的 11 是什么意思？

11 表示只有一个元素的平凡群。上述序列是“正合”的，因为任何同态的像都是下一个同态的核。例如，部分 1→G→H1\to G\to H 表示 1→G1\to G 的像是 G→HG\to H 的核，即 G→HG\to H 是单射。

由于稍后会更加清楚的原因，短正合序列之所以重要，是因为以下的理念：我们认为群 HH 是由群 GG 和 KK 组成的。

例 11.1 有以下短完全序列：

(1) Z/2Z→Z/4Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，以及（第一个同态将 1↦2∈Z/4Z1\mapsto 2\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}，而第二个同态将 0,2↦00, 2\mapsto 0 和 1,3↦0∈Z/2Z1,3\mapsto 0\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。）

(2) Z/2Z→Z/2Z×Z/2Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。（我们将 a↦(a,0)a\mapsto(a,0) 和 (a,b)↦b(a,b)\mapsto b。）

因此我们可以认为 Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 和 Klein 四元群都是由两个 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 构成的，但我们看到可以用不同的方式从 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 构建出不同的群。

我们还有以下短正合序列：

(3) Z/3Z→S3→Z/2Z\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_{3}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，（A3≅Z/3ZA_{3}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}，这是与 A3→S3A_{3}\to S_{3} 的包含相关的短正合序列。） 以及

(4) Z/3Z→Z/6Z→Z/2Z\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。

因此我们看到，至少有两种不同的方法可以通过 Z/3Z\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} 和 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 构建一个阶为 66 的群。

注 上述例子表明：

(1) 扩张不需要是直积。

(2) 扩张 G→H→KG\to H\to K 可能不允许 H←KH\leftarrow K 的映射，使得 K→H→K=idKK\to H\to K=\mathrm{id}_{K}。

(3) 交换群的扩张可以是非交换群。

§11.2 分裂短正合序列

定义 11.3 如果存在同态 K→HK\to H 使得 K→H→K=idKK\to H\to K=\mathrm{id}_{K}，我们称短正合序列

G→H→KG\to H\to K

分裂(split)。

为了更方便阅读，从现在起我们将短正合序列

G→H→KG\to H\to K

写成

L→H→RL\to H\to R

LL 代表左侧，RR 代表右侧。由于 L→HL\to H 是单射，从现在起我们将用 HH 中的像来表示 LL，以简化符号。

例 11.2 上述短正合序列的例子中：

(1) Z/2Z→Z/4Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，

(2) Z/2Z→Z/2Z×Z/2Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。

(3) Z/3Z→S3→Z/2Z\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_{3}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}，

(4) Z/3Z→Z/6Z→Z/2Z\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。

只有 (1) 不分裂。

请注意，先验地没有办法将 RR 视为 HH 的子群。例如，在例子

Z/2Z→Z/4Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

中，第二个 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 无法自然地“嵌入”回 Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}。

命题 11.1 Z/2Z→Z/4Z→Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 不分裂。

证明：Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 只有 11 和 22 阶的元素，因此没有同态 j:Z/2Z→Z/4Zj: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 可以拥有包含 ⩾3\geqslant 3 阶元素的像。（毕竟，如果 gn=1g^{n}=1，我们也必须有 j(g)n=1j(g)^{n}=1。）

但我们观察到，Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 中的 [1][1] 和 [3][3] 都是 44 阶的元素：

⟨[1]⟩={[1],[2],[3],[0]},⟨[3]⟩={[3],[6]=[2],[5]=[1],[0]}\langle[1]\rangle=\{[1],[2],[3],[0]\},\quad \langle[3]\rangle=\{[3],[6]=[2],[5]=[1],[0]\}

因此，任何同态 j:Z/2Z→Z/4Zj: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 的像都必须包含在 {[0],[2]}⊂Z/4Z\{[0],[2]\}\subset \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} 中。但这是从 Z/4Z→Z/2Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 的映射的核。因此没有 jj 能够分解 R=Z/2ZR=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 的恒等映射。

 □~\tag*{$\square$}

这是一个戏剧化的例子：

例 11.3 短正合序列

Z→×nZ→Z/nZ\mathbb{Z}\xrightarrow{\times n}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

对于任何 n≠−1,0,1n\neq -1,0,1 都不分裂。（任何从 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 到 Z\mathbb{Z} 的同态必须将一个 nn 阶元素映射到某个有限阶的元素。但 Z\mathbb{Z} 中除了 00 外没有有限阶的元素，因此不存在从 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 到 Z\mathbb{Z} 的单射。）

既然这是我们第一次尝试理解短正合序列，我们试着分析可以将 RR 视为 HH 的子群的情况。如果 LL 和 RR 都在 HH 内部，也许你会更容易接受这个理念，即 HH 是由 LL 和 RR“构造”的。因此我们得到了之前的定义。

定义 11.4 如果存在一个群同态 j:R→Hj:R\to H，使得复合 R→jH→RR\xrightarrow{j}H\to R 等于 idR\mathrm{id}_{R}，我们称短正合序列分裂(split)。我们称 j:R→Hj: R\to H 的选择为一个分裂(splitting)。

因此，如果短正合序列是由同态 ϕ:L→H\phi: L\to H，ψ:H→R\psi: H\to R 给定的，定义意味着 ψ∘j=idR\psi\circ j=\mathrm{id}_{R}。特别地，jj 是一个单射。

§11.3 半直积

在上述例子中，显然无法将 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 视为 Z\mathbb{Z} 的子群。

因此我们有了一个新的想法。我们希望能够在自然地认出半直积，并且希望能够产生例子！让我们分析一下。

如前所述，在分裂短正合序列中让我们将 RR 与 j(R)j(R) 识别。那么，RR 的每一个元素都通过共轭在 HH 本身上定义了一个作用：h↦rhr−1h\mapsto rhr^{-1}。由于 LL 是正规子群，rLr−1=LrLr^{-1}=L，因此这在 LL 上定义了一个通过 Cr:l↦rlr−1C_{r}: l\mapsto rlr^{-1} 的作用。

此外，这从 LL 到其自身是一个群同构。我们可以证明，这定义了一个从 RR 到 Aut(L)\mathrm{Aut}(L) 的群同态，给定 r↦Crr\mapsto C_{r}。换句话说，证明 Cr∘Cr′=Crr′C_{r}\circ C_{r^{\prime}}=C_{rr^{\prime}} 是等价的，因为对于 h∈Rh\in R，我们有

(Cr∘Cr′)(h)=Cr(Cr′(h))=Cr(r′hr′−1)=r(r′hr′−1)r−1.(C_{r}\circ C_{r^{\prime}})(h)=C_{r}(C_{r^{\prime}}(h))=C_{r}(r^{\prime}hr^{\prime -1})=r(r^{\prime}hr^{\prime -1})r^{-1}.

利用群运算的结合律，这可以简化为

(Cr∘Cr′)(h)=(rr′)h(rr′)−1=Crr′(h).(C_{r}\circ C_{r^{\prime}})(h)=(rr^{\prime})h(rr^{\prime})^{-1}=C_{rr^{\prime}}(h).

这个新的映射 R→Aut(L)R\to \mathrm{Aut}(L) 被称为 RR 在 LL 上的共轭作用(conjugation action)。因此，任何分裂都会产生一个从 RR 到 Aut(L)\mathrm{Aut}(L) 的群同态。(这里的 Aut(L)\mathrm{Aut}(L) 指的是群的自同构群，而不是集合的自同构群。)

问题：确定两个群 RR 和 LL。自然的问题是：任何从 R→Aut(L)R\to\mathrm{Aut}(L) 的群同态是否会产生一个分裂正合序列？

另一个观察是，给定一个分裂，RR 和 LL 都变成了 HH 的子群。此外，它们的交集只包含 1H1_{H}——毕竟，如果非单位元 l∈L∩Rl\in L\cap R，那么映射 R→H→RR\to H\to R 就不可能是单射（ll 会在 RR 的像中，从而在 H→LH\to L 的核中）。最后，由于 LL 作用的轨道覆盖了整个 HH，我们得到 H=⋃r∈RLrH=\bigcup\limits_{r\in R}Lr。即 H=LRH=LR。

定义 11.5 设 LL，RR 为 HH 的子群。我们定义

LR={g 使得 g=lr 对于某些 l∈L,r∈R}.LR=\{g~\text{使得}~g=lr~\text{对于某些}~l\in L, r\in R\}.

为了证明在短完全序列 L→H→RL\to H\to R 分裂时 H=LRH=LR，我们需要以下引理。

引理 11.2 设 L→H→ψRL\to H\xrightarrow{\psi} R 为一个短正合序列。设 q:H→H/Lq: H\to H/L 为商同态，发送 h↦Lhh\mapsto Lh。则存在一个同构 z:H/L→Rz: H/L\to R 使得 z∘q=ψz\circ q=\psi。（即存在 zz 使得如下图

是交换的。）

证明：我们已知短正合序列 L→H→ψRL \to H \xrightarrow{\psi} R，其中 ψ:H→R\psi: H \to R 是满射，其核为 LL。我们想证明存在同构 z:H/L→Rz: H/L \to R 使得 z∘q=ψz \circ q = \psi，其中 q:H→H/Lq: H \to H/L 是商映射。

由于 ψ\psi 是满射且 ker⁡(ψ)=L\ker(\psi) = L，根据第一同构定理，我们知道：

H/L≅R.H / L \cong R.

定义一个从 H/L→RH/L \to R 的映射 zz：

z(Lh)=ψ(h).z(Lh) = \psi(h).

这是良定义的，因为如果 Lh1=Lh2Lh_1 = Lh_2，那么 h1h2−1∈L=ker⁡(ψ)h_1 h_2^{-1} \in L = \ker(\psi)，所以 ψ(h1)=ψ(h2)\psi(h_1) = \psi(h_2)。

zz 是一个同构，因为：

  • zz 是同态，因为 ψ\psi 是同态。

  • zz 是满射，因为 ψ\psi 是满射。

  • zz 是单射，因为 zz 的核正是 LL，意味着唯一被映射到 RR 中单位元的是 LL。

对于所有 h∈Hh \in H，(z∘q)(h)=z(Lh)=ψ(h)(z \circ q)(h) = z(Lh) = \psi(h)，所以 z∘q=ψz \circ q = \psi。

因此，zz 是使得图表交换的所需同构。

根据第一同构定理，存在一个同构 z:H/L→Rz: H/L \to R 使得 z∘q=ψz \circ q = \psi，证明了引理。

 □~\tag*{$\square$}

一旦我们有了这个引理，我们可以证明以下推论：

推论 11.3 如果 j:R→Hj: R\to H 是 L→H→RL\to H\to R 的一个分裂，则

H=⋃r∈RLj(r).H=\bigcup\limits_{r\in R} Lj(r).

证明：根据分裂的定义，我们有 ψ∘j=idR\psi\circ j=\mathrm{id}_{R}。另一方面，根据引理，我们知道 ψ=z∘q\psi=z\circ q，所以我们有

z∘q∘j=idR。z\circ q\circ j=\mathrm{id}_{R}。

由于 zz 是一个群同构，其逆映射是一个同态，我们有同态的等式

q∘j=z−1。q\circ j=z^{-1}。

现在我们解释映射 q∘jq\circ j。同态 qq 将 hh 映射到 LhLh。因此复合映射 q∘jq\circ j 将 rr 发送到商集 Lj(r)∈H/LLj(r)\in H/L。而 z−1z^{-1} 是到 H/LH/L 的双射，所以对于 H/LH/L 中的任何商集 LhLh，我们有一个唯一的 r∈Rr\in R，使得 Lh=Lj(r)Lh=Lj(r)。因为

⋃H/LLh=H,\bigcup\limits_{H/L} Lh=H,

这就证明了

⋃r∈RLj(r)=H.\bigcup\limits_{r\in R} Lj(r)=H.
 □~\tag*{$\square$}

在上面的注释中，我们使用 jj 将 r∈Rr\in R 与它在 HH 中的像进行了识别，因此我们将其写作

⋃r∈RLr=H.\bigcup\limits_{r\in R}Lr=H.

问题：确定 L,R⊂HL, R\subset H。如果 L∩R={1}L\cap R=\{1\}，L⊂HL\subset H 是正规子群且 LR=HLR=H，那么 HH 是否是 LL 和 RR 的半直积？

我们问的问题真是好问题，因为答案是肯定的！

定理 11.4 确定一个正规子群 L⊂HL\subset H，并设 R≅H/LR\cong H/L。以下条件等价：

(1) 一个同态 j:R→Hj: R\to H 将短正合序列 L→H→RL\to H\to R 分裂。

(2) 一个到子群 R′⊂HR^{\prime}\subset H 的同构 R→R′R\to R^{\prime}，使得 R′∩L={1}R^{\prime}\cap L=\{1\} 且映射 L×R′→HL\times R^{\prime}\to H 是满射。

(3) 一个群同态 ϕ:R→Aut(L)\phi: R\to\mathrm{Aut}(L)。

在这些解释中，我们最喜欢的是最后一个，因为它没有参考群 HH——一旦我们构造了一个群同态 ϕ:R→Aut(L)\phi: R\to \mathrm{Aut}(L)，就可以构造一个短正合序列 L→H→RL\to H\to R。

问题：在 RR 和 LL 的术语中，HH 上的群运算是什么？

命题 11.5 任何同态

ϕ:R→Aut(L),r↦ϕr.\begin{aligned} \phi: R&\to \mathrm{Aut}(L),\\ r&\mapsto \phi_{r}. \end{aligned}

定义了一个群 HH 和一个分裂的短正合序列

则

(1) 以下定义了集合 H=L×RH=L\times R 上的群结构：

H×H→H(l1,r1)⋅(l2,r2):=(l1⋅ϕr1(l2),r1r2).\begin{aligned} H\times H&\to H\\ (l_{1},r_{1})\cdot(l_{2},r_{2})&:=(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2}),r_{1}r_{2}). \end{aligned}

右边等式的右边几乎是 L×RL\times R 的群运算，但在我们将 l1l_{1} 与 l2l_{2} 相乘之前，我们将 l2l_{2}“扭曲”为 LL 的另一个元素——即 r1r_{1} 在同态 ϕ:R→Aut(L)\phi:R\to \mathrm{Aut}(L) 下的值 ϕr1(l2)\phi_{r_{1}}(l_{2})。此外，

(2) 集合 {(l,1)}\{(l,1)\} 是一个正规子群，同构于 LL，

(3) 集合 {(1,r)}\{(1,r)\} 是一个子群，同构于 RR。

证明：结合律：

(l1,r1)⋅((l2,r2)⋅(l3,r3))=(l1,r1)⋅(l2⋅ϕr2(l3),r2r3)=(l1⋅ϕr1(l2⋅ϕr2(l3)),r1(r2r3))=(l1⋅ϕr1(l2)⋅ϕr1(ϕr2(l3)),r1(r2r3))=(l1⋅ϕr1(l2)⋅ϕr1r2(l3),(r1r2)r3)=(l1⋅ϕr1(l2),r1r2)⋅(l3,r3)=((l1,r1)⋅(l2,r2))⋅(l3,r3)\begin{aligned} (l_{1},r_{1})\cdot((l_{2},r_{2})\cdot(l_{3},r_{3}))&=(l_{1},r_{1})\cdot(l_{2}\cdot\phi_{r_{2}}(l_{3}),r_{2}r_{3})\\ &=(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2}\cdot\phi_{r_{2}}(l_{3})),r_{1}(r_{2}r_{3}))\\ &=(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2})\cdot\phi_{r_{1}}(\phi_{r_{2}}(l_{3})),r_{1}(r_{2}r_{3}))\\ &=(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2})\cdot\phi_{r_{1}r_{2}}(l_{3}),(r_{1}r_{2})r_{3})\\ &=(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2}),r_{1}r_{2})\cdot(l_{3},r_{3})\\ &=((l_{1},r_{1})\cdot(l_{2},r_{2}))\cdot(l_{3},r_{3}) \end{aligned}

第三个等式是因为 ϕr1\phi_{r_{1}} 是同态。第四个等式是因为 ϕ:R→Aut(L)\phi:R\to \mathrm{Aut}(L) 是同态。

单位元：

(1L,1R)⋅(l,r)=(1L⋅ϕ1R(l),1R⋅r)=(1L⋅l,1R⋅r)=(l,r)\begin{aligned} (1_{L},1_{R})\cdot (l,r)&=(1_{L}\cdot \phi_{1_{R}}(l), 1_{R}\cdot r)\\ &=(1_{L}\cdot l, 1_{R}\cdot r)\\ &=(l,r) \end{aligned}

第二个等式是因为 ϕ\phi 是同态，所以 ϕ1=1\phi_{1}=1。

逆元：

命题 11.6 (l,r)−1=(ϕr−1(l−1),r−1)(l,r)^{-1}=(\phi_{r^{-1}}(l^{-1}),r^{-1})。

证明：

(l,r)⋅(ϕr−1(l−1),r−1)=(l⋅ϕr(ϕr−1(l−1)),rr−1)=(l⋅ϕrr−1(l−1),rr−1)=(l⋅l−1,rr−1)=(1L,1R)\begin{aligned} (l,r)\cdot(\phi_{r^{-1}}(l^{-1}),r^{-1})&=(l\cdot\phi_{r}(\phi_{r^{-1}}(l^{-1})),rr^{-1})\\ &=(l\cdot\phi_{rr^{-1}}(l^{-1}),rr^{-1})\\ &=(l\cdot l^{-1},rr^{-1})\\ &=(1_{L},1_{R}) \end{aligned}

第二个等式是因为 ϕ:R→Aut(L)\phi:R\to \mathrm{Aut}(L) 是同态，所以 ϕr∘ϕr′=ϕrr′\phi_{r}\circ\phi_{r^{\prime}}=\phi_{rr^{\prime}}。第三个等式是因为 ϕ\phi 是群同态，所以 ϕ1=idL\phi_{1}=\mathrm{id}_{L}。

(ϕr−1(l−1),r−1)⋅(l,r)=(ϕr−1(l−1)⋅ϕr−1(l),r−1r)=(ϕr−1(l−1l),r−1r)=(ϕr−1(1L),1R)=(1L,1R)\begin{aligned} (\phi_{r^{-1}}(l^{-1}),r^{-1})\cdot(l,r)&=(\phi_{r^{-1}}(l^{-1})\cdot\phi_{r^{-1}}(l),r^{-1}r)\\ &=(\phi_{r^{-1}}(l^{-1}l),r^{-1}r)\\ &=(\phi_{r^{-1}}(1_{L}),1_{R})\\ &=(1_{L},1_{R}) \end{aligned}

第二个等式是因为 ϕr−1:L→L\phi_{r^{-1}}: L\to L 是群同态。最后一个等式是因为 ϕr−1\phi_{r^{-1}} 是群同态，所以 ϕr−1=1\phi_{r^{-1}}=1。

 □~\tag*{$\square$}

因此，它确实定义了一个群。

 □~\tag*{$\square$}

定义 11.6 我们用符号

L⋊ϕRL\rtimes_{\phi} R

表示这个群。当 ϕ\phi 是隐含的时，我们写作

L⋊R，L\rtimes R，

并称 L⋊RL\rtimes R 是 LL 和 RR 的半直积（semi-direct product）。

注 我们使用“一个”是因为不同的 ϕ\phi 可能会产生不同的群。虽然“和”通常是对顺序无动于衷的连词，但 LL 和 RR 在这里扮演着截然不同的角色！

注 为什么用 ⋊\rtimes？通常，当 NN 是 GG 的正规子群时，我们写作 N◃GN\triangleleft G。⋊\rtimes 是 ◃\triangleleft（正规子群）和 ×\times（乘积）的混血产物。

任何

都引出一个映射

R→Aut(L)。R\to\mathrm{Aut}(L)。

如何引出？通过共轭，因为

L⊂H 是正规子群,Ch:L→Ll↦hlh−1\begin{aligned} L\subset H&~\text{是正规子群},\\ C_{h}: L&\to L\\ l&\mapsto hlh^{-1} \end{aligned}

是 LL 上的一个群自同构。

通过基本与作业相同的论证，我们得到了一个同态

H→Aut(L)h↦Ch\begin{aligned} H&\to\mathrm{Aut}(L)\\ h&\mapsto C_{h} \end{aligned}

复合映射

就是同态 ϕ\phi。

问题：RR 在 L⊂L⋊RL\subset L\rtimes R 上如何作用？

命题 11.7 (1L,r)⋅(l,1R)⋅(1L,r−1)=(ϕr(l),1R)(1_{L},r)\cdot(l,1_{R})\cdot(1_{L},r^{-1})=(\phi_{r}(l),1_{R})。换句话说，在 L⋊RL\rtimes R 中，由 rr 的共轭恢复 ϕr\phi_{r}。

证明：

(1L,r)⋅(l,1R)⋅(1L,r−1)=(1L⋅ϕr(l),r⋅1R)⋅(1L,r−1)=(ϕr(l)⋅ϕ(1L),rr−1)=(ϕr(l⋅1L),1R)=(ϕr(l),1R)\begin{aligned} (1_{L},r)\cdot(l,1_{R})\cdot(1_{L},r^{-1})&=(1_{L}\cdot\phi_{r}(l),r\cdot 1_{R})\cdot (1_{L},r^{-1})\\ &=(\phi_{r}(l)\cdot \phi(1_{L}), rr^{-1})\\ &=(\phi_{r}(l\cdot 1_{L}),1_{R})\\ &=(\phi_{r}(l),1_{R}) \end{aligned}
 □~\tag*{$\square$}

我们现在有足够的要素来证明定理 11.4。

核心思想是：

  • 如果 L⊂HL\subset H 是正规子群，那么 H↷LH\curvearrowright L 通过共轭作用。

  • 给定一个分裂

那么 RR 也有共轭作用

R→ϕAut(L)。R\xrightarrow{\phi}\mathrm{Aut}(L)。
  • L⋊RL\rtimes R 是一个群，其中 RR 在 LL 上的共轭作用与 ϕ\phi 一致。

现在让我们证明 H≅L⋊RH\cong L\rtimes R！

要看到为什么 L⋊R≅HL\rtimes R\cong H，我们需要一个引理。

引理 11.8 对于所有 h∈Hh\in H，存在且唯一的 l∈Ll\in L 和 r∈Rr\in R，使得 h=l⋅j(r)h=l\cdot j(r)。

证明：我们知道图

是交换的。（即 z∘q=ψz\circ q=\psi。）

给定一个分裂 H←jRH\xleftarrow{j} R，我们看到

z∘q∘j=ψ∘j=idRz\circ q\circ j=\psi\circ j=\mathrm{id}_{R}

由于 zz 是一个同构，它有一个逆映射 z−1z^{-1}：

q∘j=z−1.q\circ j=z^{-1}.

z−1z^{-1} 也是一个群同构。

z−1z^{-1} 是一个双射意味着对于所有 h∈Hh\in H，存在且唯一的 rr，使得 q∘j(r)=[h]∈H/Lq\circ j(r)=[h]\in H/L。

⇒\Rightarrow 存在且唯一的 r∈Rr\in R，使得 j(r)∈Lh=[h]j(r)\in Lh=[h]。

⇒\Rightarrow 存在且唯一的 r∈Rr\in R，使得 [j(r)]=[h][j(r)]=[h]。

⇒\Rightarrow 存在且唯一的 r∈Rr\in R，使得 h=l⋅j(r)h=l\cdot j(r)，对于某个 l∈Ll\in L。

当然，给定 hh 和 j(r)j(r)，ll 是唯一确定的：

l=h⋅j(r)−1l=h\cdot j(r)^{-1}

因此确实，对于所有 h∈Hh\in H，存在且唯一的 l,rl,r，使得 h=l⋅j(r)h=l\cdot j(r)。

 □~\tag*{$\square$}

现在我们可以证明：

定理 11.9 设 为一个分裂的短正合序列，ϕ:R→Aut(L)\phi: R\to \mathrm{Aut}(L) 为引发的作用。则

H≅L⋊ϕR.H\cong L\rtimes_{\phi} R.

证明：考虑映射

L⋊ϕR→αH(l,r)↦l⋅j(r)\begin{aligned} L\rtimes_{\phi} R&\xrightarrow{\alpha}H\\ (l,r)&\mapsto l\cdot j(r) \end{aligned}

则

(l1⋅ϕr1(l2),r1r2)↦l1ϕr1(l2)j(r1)j(r2)。(l_{1}\cdot\phi_{r_{1}}(l_{2}),r_{1}r_{2})\mapsto l_{1}\phi_{r_{1}}(l_{2})j(r_{1})j(r_{2})。

但根据定义，

ϕr1(l2)=j(r1)l2j(r1)−1。\phi_{r_{1}}(l_{2})=j(r_{1})l_{2}j(r_{1})^{-1}。

因此

α((l1,r1)⋅(l2,r2))=α((l1ϕr1(l2),r1r2))=l1ϕr1(l2)j(r1)j(r2)=l1j(r1)l2j(r1)−1j(r1)j(r2)=l1j(r1)l2j(r2)=α((l1,r1))⋅α((l1,r2))\begin{aligned} \alpha((l_{1},r_{1})\cdot (l_{2},r_{2}))&=\alpha((l_{1}\phi_{r_{1}}(l_{2}),r_{1}r_{2}))\\ &=l_{1}\phi_{r_{1}}(l_{2})j(r_{1})j(r_{2})\\ &=l_{1}j(r_{1})l_{2}j(r_{1})^{-1}j(r_{1})j(r_{2})\\ &=l_{1}j(r_{1})l_{2}j(r_{2})\\ &=\alpha((l_{1},r_{1}))\cdot\alpha((l_{1},r_{2})) \end{aligned}

所以 α\alpha 是一个同态。

根据引理 11.8，对于所有 h∈Hh\in H，存在且唯一的 l∈Ll\in L 和 r∈Rr\in R，使得

h=l⋅j(r)。h=l\cdot j(r)。

因此 α\alpha 是一个双射。

 □~\tag*{$\square$}

这足以表明分裂的短正合序列与半直积是同样的数据量：

  • 给定

我们通过共轭得到 ϕ:R→Aut(L)\phi: R\to\mathrm{Aut}(L)。

  • 根据定理，H←αL⋊RH\xleftarrow{\alpha}L\rtimes R 是一个同构。

  • 所以我们有一个满射 L⋊R→αH→ψRL\rtimes R\xrightarrow{\alpha}H\xrightarrow{\psi}R。

  • 由于 α\alpha 是同构，因此

ker⁡(ψ∘α)=α−1(ker⁡ψ)=α−1(L)={(l,1R)}⊂L⋊R\begin{aligned} \ker(\psi\circ\alpha)&=\alpha^{-1}(\ker\psi)\\ &=\alpha^{-1}(L)\\ &=\{(l,1_{R})\}\subset L\rtimes R \end{aligned}

根据引理 11.8。

  • 因此我们有一个短完全序列
L→L⋊R→ψ∘αRl↦(l,1R)\begin{aligned} L&\to L\rtimes R\xrightarrow{\psi\circ\alpha}R\\ l&\mapsto(l,1_{R}) \end{aligned}

具有分裂

L⋊R←RL\rtimes R\leftarrow R

(1L,r)(1_{L},r)↦\mapsto r~r

情况可以总结为以下图是交换的：

（即你可以绘制的任何子方块都是交换的。）

例 11.4 回忆 SOn(R)⊂On(R)SO_{n}(\mathbb{R})\subset O_{n}(\mathbb{R}) 是一个指数为 22 的子群。根据定义，SOn(R)=ker⁡(On(R)→det⁡R×)SO_{n}(\mathbb{R})=\ker(O_{n}(\mathbb{R})\xrightarrow{\det}\mathbb{R}^{\times})，任何核都是一个正规子群。所以它是正规的。（或者你可以使用任何指数为二的子群都是正规的事实。）因此我们有一个短正合序列 Z/2Z\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ≅\cong 1→SOn(R)→On(R)→{±1}→1                                     1\to SO_{n}(\mathbb{R})\to O_{n}(\mathbb{R})\to\{\pm 1\}\to 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ⊂\subset R×\mathbb{R}^{\times}

这个序列允许很多不同的分裂。

为了具体化，取 n=2n=2。

例如，

O2(R)←Z/2Z:jO_{2}(\mathbb{R})\leftarrow\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:j

(1001)\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}↦\mapsto[0][0] (100−1)\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}↦\mapsto[1][1] 或者 (−1001)\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}↦\mapsto[1][1] 或者 (0110)\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}↦\mapsto[1][1]