§10 同构定理

§10.1 第一同构定理

§10.1.1 商映射作为群同态

命题 10.1 设 $H\subset G$ 是正规子群。映射

(1) 是一个群同态。

(2) 是满射。

(3) 有核$q$。

证明：(1)

(2) 对所有 $Hg\in G/H$，

(3) $q(g)=1_{G/H}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{aligned} q(g)&=H1_{G}\\ &=H \end{aligned}$

但 $Hg=H1_{G}$ $\Leftrightarrow$ $g$ 和 $1_{G}$ 在相同轨道上

$\Leftrightarrow$ $g=h1_{G}$ 对某个 $h\in H$

$\Leftrightarrow$ $g\in H$

所以 $q(g)=1_{G/H}$ $\Leftrightarrow$ $g\in H$。

§10.1.2 可视化

图像是什么样的？

将 $G$ 视为某个集合

子群 $H\subset G$ 将 $G$ 划分为轨道

而 $G/H$ 塌缩到所有这些轨道：

§10.1.3 单射和群同态的核

顺便说一下，

命题 10.2 设 $G\xrightarrow{\phi} G^{\prime}$ 是一个群同态。则 $\phi$ 是单射当且仅当

证明：单射 $\Rightarrow$ $\exists ! g$（如果存在）使得 $\phi(g)=1_{G^{\prime}}$。

由于群同态总是将 $1_{G}$ 映射到 $1_{G^{\prime}}$，所以 $g\in 1_{G}$。

假设 $\ker(\phi)=\{1_{G}\}$。那么

因此给定任意的正规子群 $H$，商同态 $q$ 表示 $H$ 作为某个群同态的核。

§10.1.4 核是正规子群

问题：是否每个群同态的核都是正规子群？

命题 10.3 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是一个群同态。那么 $\ker(\phi)$ 是正规子群。

证明：需要证明：$\forall h\in\ker(\phi)$，$\forall g\in G$，$ghg^{-1}\in\ker(\phi)$。

那么，

所以 $ghg^{-1}\in\ker(\phi)$。

在这里我们只证明了

以证明 $\ker(\phi)$ 是正规子群。但我们如何证明

§10.1.5 共轭的相等性意味着正规性

命题 10.4 设 $H\subset G$ 是一个子群。“$\forall g\in G$, $gHg^{-1}\subset H$” 意味着 “$\forall g\in G$, $gHg^{-1}=H$”。

证明：我们需要证明 $\forall g\in G$, $H\subset gHg^{-1}$。

因此固定 $h\in H$。设 $g^{\prime}=g^{-1}$。根据假设，

所以

对于某个 $h^{\prime}\in H$。那么

因为

这表明 $h\in gHg^{-1}$。

§10.1.6 正规子群的交集

推论 10.5 如果 $H_{1}$, $H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群，那么 $H_{1}\cap H_{2}$ 也是正规子群。

证明：设 $h\in H_{1}\cap H_{2}$。则对于所有 $g\in G$，

• $ghg^{-1}\in H_{1}$ 因为 $H_{1}$ 是正规子群。

• $ghg^{-1}\in H_{2}$ 因为 $H_{2}$ 是正规子群。

因此 $ghg^{-1}\in H_{1}\cap H_{2}$。

$\Rightarrow$ 对于所有 $g\in G$，$gH_{1}\cap H_{2}g^{-1}\subset H_{1}\cap H_{2}$。

注意

命题 10.6 如果 $H_{1}$, $H_{2}$ 只是 $G$ 的子群，那么 $H_{1}\cap H_{2}$ 也是 $G$ 的一个子群。

证明：$1_{G}\in H_{1}$ 和 $H_{2}$，因为它们都是子群。

因此

如果 $g$ 和 $g^{\prime}$ 在 $H_{1}\cap H_{2}$ 中，那么

• $gg^{\prime}\in H_{1}$ 因为 $H_{1}$ 是子群

• $gg^{\prime}\in H_{2}$ 因为 $H_{2}$ 是子群

因此

对逆元也是类似。

§10.1.7 构造包含一个集合的最小正规子群

现在假设你有一个群 $G$，以及一些任意的集合

其元素在 $G$ 中。（$I$ 不一定是一个子群；它只是 $G$ 中的一些元素的随机列表。）

问题：你能找到一个包含 $I$ 的 $G$ 的正规子群吗？

那么，$G$ 本身是 $G$ 的一个正规子群。并且它当然包含 $I$。

问题： 我们能得到更小的子群吗？

可以。考虑交集

集合 $\{H\subset G\mid H~\text{是正规子群且}~H~\text{包含}~I\}$ 不是空的，因为 $G$ 在其中。因此，我们通过这个交集得到 $G$ 的一个正规子群（根据前面的推论）。这是一种很好的构造方式。

§10.1.8 第一同构定理

命题 10.7 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是一个满射群同态。那么 $\exists$ 一个同构 $G/\ker(\phi)\xrightarrow{\cong} G^{\prime}$。

证明：给定一个满射群同态

设 $H=\ker(\phi)$。注意，如果 $g_{2}\in Hg_{1}$，

因为

所以我们有一个良定义的映射

（我们已经证明，如果 $Hg_{1}=Hg_{2}$，那么 $\phi(g_{1})=\phi(g_{2})$。）

这是一个同态，因为

它是单射的，因为

它是满射的，因为 $\phi$ 是满射：

推论 10.8 (第一同构定理) 设 $\phi:G\to G^{\prime}$ 是任意的群同态。那么 $\exists$ 群同构

证明：$\mathrm{im}(\phi)\subset G^{\prime}$ 是一个子群。根据像的定义，群同态 $\phi: G\to G^{\prime}$ 如下分解：

这里，$j$ 是 $\mathrm{im}(\phi)$ 到 $G$ 的嵌入。（这是一个单射的群同态。）$\overline{\phi}$ 是与 $\phi$ 相同的函数，但具有不同的目标/到达域。所以我们看到 $\phi=j\circ \overline{\phi}$。

另外，根据像的定义，$\overline{\phi}$ 是满射。因此，这个命题说明

但 $\ker(\overline{\phi})=\ker(\phi)$，因为 $j(1_{\mathrm{im}(\phi)})=1_{G^{\prime}}$。

§10.1.9 第一同构定理的应用：指数

命题 10.9 设

和

那么

即 $SO_{n}(\mathbb{R})$ 是 $O_{n}(\mathbb{R})$ 的指数为 $2$ 的子群。

证明：考虑同态

因为 $\mathbb{R}^{\times}$ 的单位元是 $1\in\mathbb{R}^{\times}$，所以 $\det$ 的核是 $SO_{n}(\mathbb{R})$。

另一方面，

因此

§10.2 第二同构定理

§10.2.1 第二同构定理

确定一个群 $G$。设 $S\subset G$ 是一个子群，$N\triangleleft G$ 是一个正规子群。

命题 10.10 设 $SN$ 是 $G$ 中所有形如 $sx$ 的元素的集合，其中 $s\in S$ 且 $x\in N$。这是 $G$ 的一个子群。

证明：给定 $s_{1}, s_{2}\in S$ 和 $x_{1}, x_{2}\in N$，我们有

对某个 $x^{\prime}\in N$ （因为 $N$ 是正规子群）。并且 $s_{1}s_{2}\in S$ 且 $x^{\prime}x_{2}\in N$ 因为它们都在乘法下封闭。单位元在 $SN$ 中，因为 $1\in S$, $N$ 且 $1\cdot 1=1$。最后，$SN$ 包含逆元，因为

其中 $x^{\prime}\in N$ 是满足 $x^{\prime}=sx^{-1}s^{-1}$ 的元素。

命题 10.11 $N$ 是 $SN$ 的正规子群。

证明：我们知道对于每个 $g\in G$ 和 $x\in N$，$gxg^{-1}\in N$。由于 $SN\subset G$，我们特别有，对于任何 $g\in SN$，$gxg^{-1}\in N$。

命题 10.12 $S\cap N$ 是 $S$ 的正规子群。

证明：如果 $x\in S\cap N$，那么对于所有 $s\in S$，我们知道 $sxs^{-1}\in N$，因为 $N$ 是 $G$ 的正规子群。另一方面，$S$ 在乘法下封闭，所以 $sxs^{-1}\in S$ 也是成立的。这表明 $sxs^{-1}\in N\cap S$。

定理 10.13 (第二同构定理) 存在一个同构

证明：考虑以下同态的复合

其中后者是商映射，前者是简单的包含映射（注意 $S\subset SN$）。这个组合是满射的，因为对于任何 $n\in N$，元素 $[sn]\in SN/N$ 等价于元素 $[s]\in SN/N$。它的核是那些在 $N$ 中的元素——即 $S\cap N$。因此，根据第一同构定理，我们完成了证明。

问题：商集 $[s]$ 在 $S/(S\cap N)$ 中是否定义了 $SN/N$ 中的商集 $[sn]$？$[sn]$ 中的 $n$ 重要吗？

这给了我们另一种第二同构定理的证明方法的提示：

证明：给定 $[sn]\in SN/N$，考虑 $[s]\in S/(S\cap N)$。

我们声称赋值 $\phi: [sn]\mapsto [s]$ 是良定义的。如果 $sn=s^{\prime}n^{\prime}x$ 且 $x\in N$，那么

我们必须证明元素 $n^{\prime}xn^{-1}$ 在 $S\cap N$ 中。我们可以通过在等式两边左乘 $s^{\prime -1}$ 来看它必须在 $S$ 中。我们知道它在 $N$ 中，因为元素 $n^{\prime}$, $x$, $n^{-1}$ 都在 $N$ 中，且 $N$ 在乘法下封闭。

现在我们证明这是一个群同态：

为了证明它是单射的，我们必须知道核是平凡的。如果 $\phi([sn])=[x]$ 对于 $x\in S\cap N$，那么 $[sn]$ 有一个代表形式 $xn^{\prime}$；但 $x\in X\cap N$，$n^{\prime}\in N$ 意味着 $xn^{\prime}\in N$，由于 $N$ 在乘法下封闭，因此 $[sn]=[sn^{\prime}]=1\in SN/N$。

为了证明它是满射的，注意对于任何 $s\in S$，我们有 $s=s1_{G}\in SN$。所以 $\phi([s1_{G}])=\phi(s)$。

§10.2.2 第二同构定理的应用

例 10.1 设 $G=S_{4}$，即 $4$ 个元素的对称群。设 $S$ 是由置换 $(12)$ 生成的子群，$N$ 是交错群 $A_{4}$，即 $4$ 个元素的交错群。我们有同构 $S\cong\mathbb{Z}_{2}$。

证明：

• 确定 $S$, $N$ 及其交集：

$S=\langle (12)\rangle$，其阶数为 $2$。

$N=A_{4}$，其阶数为 $12$。

$S\cap N$: 由于 $(12)$ 是一个偶置换，只有当它可以表示为偶数个换位时。但是 $(12)$ 是单个换位，所以 $(12)\notin A_{4}$。因此，$S\cap N=\{1_{G}\}$。

• 计算 $SN$：

$SN$ 由所有可以表示为 $sn$ 的元素组成，其中 $s\in S$ 且 $n\in N$。

由于 $S$ 的阶数为 $2$，$N$ 的阶数为 $12$ 且 $S\cap N=\{1_{G}\}$，因此 $SN$ 的阶数为 $|S||N|/|S\cap N|=(2\times 12)/1=24$。

然而，$G$ 的阶数是 $24$，所以 $SN=G$。

• 应用第二同构定理：

§10.3 第三同构定理

第三同构定理回答了以下问题：假设我有一个嵌套的子群序列 $K\subset N\subset G$。我可以将整个 $N$ 商出去，得到轨道集 $G/N$。（在此过程中，$K$ 也被商掉了，因为 $K$ 包含在 $N$ 中。）或者，我可以尝试逐步商出去：首先取 $G/K$，然后再商去剩余的 $N$。结果是一样的吗？答案是肯定的，如果 $K$ 和 $N$ 都是 $G$ 的正规子群（这样才能谈论商群），最终的结果是相同的群。

§10.3.1 第三同构定理

命题 10.14 存在子群 $K\subset N\subset G$。存在一个单射

证明：对于 $N/K$ 中的任何陪集 $nK$（其中 $n \in N$），定义：

这仅意味着我们将来自 $N/K$ 的陪集 $nK$ 视为 $G/K$ 中的一个元素。

良定义性：如果在 $N/K$ 中 $n_1K = n_2K$，则 $n_1^{-1}n_2 \in K$。因为 $K \subset G$，这也意味着在 $G/K$ 中 $n_1K = n_2K$。因此，$f$ 是良定义的。

如果 $f(n_1K) = f(n_2K)$，那么在 $G/K$ 中 $n_1K = n_2K$，意味着 $n_1^{-1}n_2 \in K$。这表明在 $N/K$ 中 $n_1K = n_2K$。因此，$f$ 是单射。

因此，存在一个单射 $f: N/K \to G/K$。

这些只是集合之间的映射，还不是群。毕竟，我们还没有假设 $K$ 是 $G$ 中的正规子群。

命题 10.15 设 $K\subset N\subset G$ 是子群，且 $K$ 是 $G$ 中的正规子群。那么 $K\triangleleft N$。

证明：因为 $K \triangleleft G$，对于任何 $g \in G$ 和 $k \in K$，我们有：

特别地，这对任何 $n \in N$ 也是成立的，因为 $N \subset G$。因此，对于任何 $n \in N$ 和 $k \in K$：

这表明 $K$ 是 $N$ 的正规子群，所以 $K \triangleleft N$。

现在我们可以谈论 $G/K$ 和 $N/K$ 作为群。

命题 10.16 设 $K\subset N\subset G$ 是子群。单射 $f: N/K\to G/K$ 是一个群同态。

证明：对于 $N/K$ 中的任何 $n_1K, n_2K$，在 $N/K$ 中的乘积是：

应用 $f$：

另一方面：

由于两边相等，$f$ 是一个群同态。

这表明 $N/K$ 作为 $G/K$ 的一个子群。

命题 10.17 设 $K\subset N\subset G$ 是子群。存在一个双射

证明：对于 $G/N$ 中的任何陪集 $gN$，定义：

这意味着 $gK$ 被视为 $G/K$ 中的一个陪集，以 $N/K$ 为单位的子群。

良定义性：如果 $g_1N = g_2N$，则 $g_1^{-1}g_2 \in N$，所以在 $(G/K)/(N/K)$ 中 $g_1K$ 和 $g_2K$ 是相同的。因此，$\psi$ 是良定义的。

单射性：如果 $\psi(g_1N) = \psi(g_2N)$，那么在 $(G/K)/(N/K)$ 中 $g_1K$ 和 $g_2K$ 是相同的双陪集，意味着 $g_1N = g_2N$。所以 $\psi$ 是单射的。

满射性：对于 $(G/K)/(N/K)$ 中的任何陪集 $gK$，存在一个对应的 $gN \in G/N$，使得 $\psi(gN) = gK$。因此，$\psi$ 是满射的。

因此，$\psi$ 是一个双射。

这只是两个集合之间的函数。为了明确，在右侧，我们利用了 $N/K$ 对 $G/K$ 的作用，因为 $N/K$ 是一个子群。商集 $(G/K)/(N/K)$ 是这个作用的通常轨道空间。

命题 10.18 设 $G$ 是有限群，$K\subset N\subset G$ 是子群，则

证明：$|G/N|$ 是 $N$ 在 $G$ 中的陪集数量。

$|G/K|$ 是 $K$ 在 $G$ 中的陪集数量。

$|N/K|$ 是 $K$ 在 $N$ 中的陪集数量。

$G$ 中 $N$ 的每个陪集对应于 $G$ 中 $K$ 的 $|N/K|$ 个陪集。因此：

重新排列得到：

定理 10.19 (第三同构定理) 设 $G$ 是一个群。设 $K\triangleleft G$ 且 $N\triangleleft G$，满足 $K\subset N\subset G$。那么商群 $N/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，并且

证明：

• $N/K$ 是 $G/K$ 的正规子群：

由于 $N$ 是 $G$ 的子群，$N/K$ 是 $G/K$ 的子群。

对于 $G/K$ 中的任何陪集 $gK$ 和 $N/K$ 中的 $nK$，考虑共轭：$(gK)(nK)(gK)^{-1}=gKnKg^{-1}K=gng^{-1}K$。

由于 $N\triangleleft G$，$gng^{-1}\in N$。

因此，$gng^{-1}\in N/K$。

因此，$(gK)(nK)(gK)^{-1}\in N/K$。

所以 $N/K\triangleleft G/K$。

• 定义自然同态 $\phi:G/K\to G/N$，其中 $\phi(gK)=gN$。这是良定义的，即如果 $gK=g^{\prime} K$，则 $\phi(gK)=\phi(g^{\prime}K)$。

如果 $gK=g^{\prime}K$，则 $g^{-1}g^{\prime}\in K\subset N$。

因此，$g^{-1}g^{\prime}\in N$，所以 $gN=g^{\prime}N$。

因此，$\phi(gK)=gN=g^{\prime}N=\phi(g^{\prime}K)$。

• $\phi$ 是一个满射的群同态：

对于 $G/K$ 中的任意 $gK, hK$：

因此，$\phi$ 是一个同态。

对于 $G/N$ 中的任意 $gN$，存在一个 $gK\in G/K$，使得 $\phi(gK)=gN$。因此，$\phi$ 是满射的。

• 确定 $\phi$ 的核：

$\ker(\phi)=\{gK\in G/K\mid \phi(gK)=N\}$。

$\phi(gK)=gN=N$ 意味着 $g\in N$。

因此，$\ker(\phi)=\{gK\mid g\in N\}=N/K$。

• 应用第一同构定理：

如果 $\phi: G/K\to G/N$ 是一个满射同态，且核为 $N/K$，则

由于 $\ker(\phi)=N/K$，我们有

§10.3.2 第三同构定理的应用

例 10.2 设 $G=\mathbb{Z}$，$N=4\mathbb{Z}$，$K=12\mathbb{Z}$。

$N/K=4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{3}$。

$G/K=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{12}$。

$(G/K)/(N/K)=(\mathbb{Z}_{12})/(\mathbb{Z}_{3})\cong\mathbb{Z}_{4}$。

$G/N=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{4}$。

$(G/K)/(N/K)\cong G/N\cong\mathbb{Z}_{4}$。