§8 基本群

定义 8.1 设 $X\subset\mathbb{R}^{n}$ 为一个子集，并固定 $x_{0}\in X$ 。以 $x_{0}$ 为基点的 $X$ 中的一个闭路径(loop) 是一个连续函数

[0,1]\xrightarrow{\gamma}\mathbb{R}^{n}

满足以下条件：

对于任意 $t\in[0,1]$ ，有 $\gamma(t)\in X$ 。
$\gamma(0)=\gamma(1)=x_{0}$ 。

例 8.1 设 $X=\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ ， $x_{0}=(1,0)$ 。

定义 8.2 给定两条曲线 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ ，如果 $\gamma_{1}$ 可以在不改变 $\gamma(0)$ 和 $\gamma(1)$ 的情况下，通过连续变形变为 $\gamma_{2}$ ，我们称 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ 同伦(homotopic)。即，如果存在一个连续映射

\begin{aligned} \Gamma: [0,1]\times[a,b]&\to X\\ (t,s)&\mapsto \Gamma(t,s) \end{aligned} \tag*{}

使得

$\Gamma(t,a)=\gamma_{1}(t)$ 。
$\Gamma(t,b)=\gamma_{2}(t)$ 。
对任意 $s$ ，有 $\Gamma(0,s)=\Gamma(1,s)=x_{0}$ 。

其中 $[a,b]$ 是某个区间。

你可以将看作是一段持续 $b-a$ 秒的“路径动画”。

引理 8.1 若 $\gamma_{1}\sim\gamma_{2}$ 当且仅当 $\gamma_{1}$ 与 $\gamma_{2}$ 同伦，则 $\sim$ 是一个等价关系。

简单来说：

任意路径可以通过“无变形”变回自身。
如果 $\gamma_{1}$ 可以变形为 $\gamma_{2}$ ，则 $\gamma_{2}$ 也可以通过反向变形变回 $\gamma_{1}$ 。
如果 $\gamma_{1}$ 可以变形为 $\gamma_{2}$ ，而 $\gamma_{2}$ 又可以变形为 $\gamma_{3}$ ，那么可以通过连续执行两次变形来将 $\gamma_{1}$ 变形为 $\gamma_{3}$ 。

定义 8.3 定义

\pi_{1}(X,x_{0})=\{\text{以}~x_{0}~\text{为基点的闭路径}\}/\sim.\tag*{}

称其为以 $x_{0}$ 为基点的 $X$ 的基本群(fundamental group)。

注如果 $X$ 是连通的，则对于任意两个基点有 $\pi_{1}(X,x_{0})\cong\pi_{1}(X,x_{0}^{\prime})$ 。

基本群的复合如下：

\begin{aligned} \pi_{1}(X,x_{0})\times\pi_{1}(X,x_{0})&\to\pi_{1}(X,x_{0})\\ ([\gamma_{b}],[\gamma_{a}])&\mapsto [\gamma_{b}][\gamma_{a}]. \end{aligned} \tag*{}

给定两条路径 $\gamma_{a}$ 和 $\gamma_{b}$ ，考虑路径

\begin{aligned} \widetilde{\gamma_{b}\circ\gamma_{a}}:[0,2]&\to X\\ t&\mapsto\begin{cases} \gamma_{a}(t)&\text{若}~t\in[0,1]\\ \gamma_{b}(t-1)&\text{若}~t\in[1,2] \end{cases} \end{aligned} \tag*{}

将区间 $[0,2]$ 重缩放到 $[0,1]$ ，得到路径

\begin{aligned} \gamma_{b}\circ\gamma_{a}:[0,1]&\to X\\ t&\mapsto\begin{cases} \gamma_{a}(2t)&\text{若}~t\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\ \gamma_{b}(2t-1)&\text{若}~t\in\left[\frac{1}{2},1\right] \end{cases} \end{aligned} \tag*{}

定义 $[\gamma_{b}][\gamma_{a}]=[\gamma_{b}\circ\gamma_{a}]$ 。

例 8.2 考虑 $X=\mathbb{R}^{2}\setminus\{p,q\}$ ， $x_{0}$ 是任意点。

右边的两张图都是 $[\gamma_{b}\circ\gamma_{a}]$ 的表示。

注

恒等闭路径 $\gamma(t)=x_{0}$ 对任意 $t$ 恒为单位元。

如果 $\gamma$ 是一条闭路径，而 $\gamma_{0}$ 是恒等路径，那么 $\gamma_{0}\circ\gamma$ 是“快速执行 $\gamma$ ，然后静止 $\dfrac{1}{2}$ 秒”的路径。设 $\Gamma$ 为从 $\dfrac{1}{2}$ 秒静止时间逐渐收缩到 $0$ 秒的同伦变换。

$\gamma$ 的逆路径是“反向执行 $\gamma$ ”的闭路径。

[“ $\gamma$ 反向” $\circ \gamma$ ]=?

最终，路径复合是结合的。

例 8.3 注意到 $L$ 表示一条直线。

这里不证明同构，但粗略地，可以将路径 $\gamma$ 映射到它的“绕数”。

“路径 $\gamma$ 绕过缺口的次数是多少？”

例 8.4 如果路径 $\gamma$ 可微，可以定义为

\dfrac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle\int_{\gamma}\dfrac{\mathrm{d}z}{z}.\tag*{}

例 8.5

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