§8 基本群

定义 8.1 设$X\subset\mathbb{R}^{n}$为一个子集，并固定$x_{0}\in X$。以$x_{0}$为基点的$X$中的一个闭路径(loop) 是一个连续函数

满足以下条件：

• 对于任意$t\in[0,1]$，有$\gamma(t)\in X$。
• $\gamma(0)=\gamma(1)=x_{0}$。

例 8.1 设$X=\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$，$x_{0}=(1,0)$。

定义 8.2 给定两条曲线$\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$，如果$\gamma_{1}$可以在不改变$\gamma(0)$和$\gamma(1)$的情况下，通过连续变形变为$\gamma_{2}$，我们称$\gamma_{1}$和$\gamma_{2}$同伦(homotopic)。即，如果存在一个连续映射

使得

• $\Gamma(t,a)=\gamma_{1}(t)$。
• $\Gamma(t,b)=\gamma_{2}(t)$。
• 对任意$s$，有$\Gamma(0,s)=\Gamma(1,s)=x_{0}$。

其中$[a,b]$是某个区间。

你可以将看作是一段持续$b-a$秒的“路径动画”。

引理 8.1 若$\gamma_{1}\sim\gamma_{2}$当且仅当$\gamma_{1}$与$\gamma_{2}$同伦，则$\sim$是一个等价关系。

简单来说：

• 任意路径可以通过“无变形”变回自身。
• 如果$\gamma_{1}$可以变形为$\gamma_{2}$，则$\gamma_{2}$也可以通过反向变形变回$\gamma_{1}$。
• 如果$\gamma_{1}$可以变形为$\gamma_{2}$，而$\gamma_{2}$又可以变形为$\gamma_{3}$，那么可以通过连续执行两次变形来将$\gamma_{1}$变形为$\gamma_{3}$。

定义 8.3 定义

称其为以$x_{0}$为基点的$X$的基本群(fundamental group)。

注 如果$X$是连通的，则对于任意两个基点有$\pi_{1}(X,x_{0})\cong\pi_{1}(X,x_{0}^{\prime})$。

基本群的复合如下：

给定两条路径$\gamma_{a}$和$\gamma_{b}$，考虑路径

将区间$[0,2]$重缩放到$[0,1]$，得到路径

定义$[\gamma_{b}][\gamma_{a}]=[\gamma_{b}\circ\gamma_{a}]$。

例 8.2 考虑$X=\mathbb{R}^{2}\setminus\{p,q\}$， $x_{0}$是任意点。

右边的两张图都是$[\gamma_{b}\circ\gamma_{a}]$的表示。

注

• 恒等闭路径$\gamma(t)=x_{0}$对任意$t$恒为单位元。

如果$\gamma$是一条闭路径，而$\gamma_{0}$是恒等路径，那么$\gamma_{0}\circ\gamma$是“快速执行$\gamma$ ，然后静止$\dfrac{1}{2}$秒”的路径。设$\Gamma$为从$\dfrac{1}{2}$秒静止时间逐渐收缩到$0$秒的同伦变换。

• $\gamma$的逆路径是“反向执行$\gamma$”的闭路径。

[“$\gamma$反向”$\circ \gamma$]=?

• 最终，路径复合是结合的。

例 8.3 注意到$L$表示一条直线。

这里不证明同构，但粗略地，可以将路径$\gamma$映射到它的“绕数”。

“路径$\gamma$绕过缺口的次数是多少？”

例 8.4 如果路径$\gamma$可微，可以定义为

例 8.5