§7 椭圆曲线

定义 7.1 设 $f(x)$ 是一个良好的三次多项式。由 $f$ 定义的椭圆曲线是集合

\mathbb{E}:=\{\mathscr{O}\}\cup\{(x,y)\mid y^{2}=f(x)\}.\tag*{}

例 7.1 方程的解如下图所示：

注意 $(x,y)\in\mathbb{E}$ $\Rightarrow$ $(x,-y)\in\mathbb{E}$ 。

定理 7.1 每个椭圆曲线都是一个Abel群。

这令人惊讶。我们定义群操作如下：

\begin{aligned} \mathbb{E}\times\mathbb{E}&\to\mathbb{E}\\ (P,Q)&\mapsto P+Q \end{aligned}\tag*{}

(1) 如果 $P, Q=\mathscr{O}$ ，则设

\mathscr{O}+\mathscr{O}=\mathscr{O}.\tag*{}

(2) 如果 $P=\mathscr{O}$ , $Q=(x,y)\in\mathbb{E}$ , 则设

\mathscr{O}+Q=Q+\mathscr{O}=Q.\tag*{}

(3) 如果 $P$ , $Q$ 属于 $\{(x,y)\mid y^{2}=f(x)\}$ , 考虑包含和的唯一直线 $L_{PQ}$ 。

一条直线 $L$ 与三次曲线交于三点。设 $R=(x,y)$ 为第三个交点，则定义 $P+Q:=(x,-y)$ 。

规则： 若 $L_{PQ}$ 是垂直线，它在 $\mathbb{R}^{2}$ 中不再有第三个交点，我们定义第三个交点 $R$ 为“无穷远点” $\mathscr{O}$ 。

(这其实是投影几何中的一种解释，在那里平行线——例如垂直线——在无穷远点相交。)

注意 $L_{PQ}=L_{QP}$ ，所以 $P+Q=Q+P$ 。

证明 $\mathbb{E}\times\mathbb{E}\to\mathbb{E}$ 是结合的较为困难。

我建议选择三个相邻的点。

命题 7.2 $(P_{1}+P_{2})+P_{3}=P_{1}+(P_{2}+P_{3})$ 。

一个很棒的观察：假设 $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ 且 $a_{i}\in\mathbb{Q}$ 。若 $P, Q\in\mathbb{E}$ 为有理点（即它们的 $x$ 和 $y$ 坐标为有理数）。那么 $P+Q$ 也是有理点！

证明： $L_{PQ}$ 的方程为

y=mx+t\tag*{}

$P, Q\in\mathbb{Q}^{2}$ $\Rightarrow$ $m, t\in\mathbb{Q}$ 。交点 $L_{PQ}\cap\mathbb{E}$ 包含 $R$ 满足方程

(mx+t)^{2}=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\tag*{}

$\Rightarrow P, Q, R$ 是某个有理系数三次多项式的根。

$\Rightarrow$

(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=g(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\tag*{}

由于 $x_{1}, x_{2}\in\mathbb{Q}$ $\Rightarrow$ $x_{3}\in\mathbb{Q}$ ，因为 $x_{1}x_{2}x_{3}$ 是 $g(x)$ 的常数项！（更好的是：因为 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=b_{2}$ 且 $x_{1}, x_{2}, b_{2}\in\mathbb{Q}$ 。）

定义 7.2 若 $f$ 是有理三次多项式（即 $a_{i}\in\mathbb{Q}$ ），定义 $\mathbb{E}(\mathbb{Q})\subset\mathbb{E}$ 为集合

(\mathbb{E}\cap(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}))\cup\{\mathscr{O}\}\tag*{}

即所有坐标为有理数的点 $P$ 以及无穷远点 $\mathscr{O}$ 的集合。

因此我们有一个子集

\mathbb{E}(\mathbb{Q})\subset\mathbb{E}\tag*{}

它在加法下是封闭的。

它在取逆下也是封闭的，因为

P=(x,y)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\tag*{}

$\Rightarrow$

-P=(x,-y)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\tag*{}

并且 $\mathbb{E}(\mathbb{Q})$ 包含单位元 $\mathscr{O}$ ，所以

命题 7.3 $\mathbb{E}(\mathbb{Q})\subset\mathbb{E}$ 是一个子群。

定义 7.3 若 $G$ 存在一个有限集合 $S$ 以及一个满同态

F(S)\to G,\tag*{}

则称是有限生成的(finitely generated)。

解析此定义：设 $S=\{s_{1},\ldots,s_{n}\}$ 为有限集合，并且

\phi: F(S)\to G\tag*{}

是一个满同态。

$\phi$ 将每个 $s_{i}$ 映射到某个元素

g_{i}=\phi(s_{i})\tag*{}

$\phi$ 是满射的，意味着 $\forall g\in G$ ， $\exists$ 一个字，使得

\phi(w)=g\tag*{}

即 $g$ 可以表示为 $g_{i}$ 和 $g_{i}^{-1}$ 的有限乘积。

换句话说，存在一个有限集合

g_{1},\ldots,g_{n}\in G\tag*{}

使得 $G$ 的任意元素都可以用 $g_{i}$ 及其逆元的乘积来表示。

例 7.2 任何有限群 $G$ 都是有限生成的。取

S=G\tag*{}

并定义映射

\begin{aligned} F(S)&\to G\\ g&\mapsto g. \end{aligned}\tag*{}

例 7.3 任意循环群都是有限生成的。如果

G=\langle g\rangle,\tag*{}

取 $S=\{g\}$ ，

\begin{aligned} F(S)&\to G\\ g&\mapsto g. \end{aligned}\tag*{}

例 7.4 任意有限个有限生成群的积也是有限生成的

G=G_{1}\times\cdots\times G_{n}.\tag*{}

取 $G_{i}$ 的生成集 $S_{i}$ 并定义 $S=S_{1}\cup\cdots\cup S_{n}$ 。如果 $\phi_{i}: F(S_{i})\to G_{i}$ 是满射 $\forall i$ ，定义

\begin{aligned} \phi: F(S)&\to G\\ a_{i}&\mapsto(1,\ldots,1,\phi_{i}(a_{i}),1,\ldots,1) \end{aligned}\tag*{}

关于椭圆曲线最重要的一个定理是：

定理 7.4 (Mordell's Theorem) $\mathbb{E}(\mathbb{Q})$ 是有限生成的。

这一结果令人惊讶——存在一些有理点 $P_{1},\ldots,P_{n}\in\mathbb{E}(\mathbb{Q})$ ，使得任何其他有理点都可以通过这些 $P_{i}$ 的加减法得到。

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