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§17 模
2024-07-12
代数
00

目录

§17 模
§17.1 模
§17.2 子模
§17.3 模同态
§17.4 直和与自由模
§17.5 自由模的泛性质
§17.6 0个生成元的自由模

§17 模

§17.1 模

正如群作用在集合上一样，环作用在Abel群上。当一个环作用于一个Abel群时，该Abel群被称为该环上的模。

当群作用于集合时，必须通过双射作用，因此必须尊重集合的势(cardinality) 等性质。但环作用于Abel群时，它尊重的是Abel群内部的加法结构，这便是下面定义中的条件(1)。

在此情境下，我们将像对待群一样，建立模代数的所有定义。

定义 17.1 设RR为一个环，MM为一个Abel群。RR在MM上的左作用(left action) 是一个函数

R×M→M,(r,m)↦rm\begin{aligned} R\times M&\to M,\\ (r,m)&\mapsto rm \end{aligned}

使得对于所有r,s∈Rr, s\in R和m,m′∈Mm, m^{\prime}\in M，满足：

(1) r(m+m′)=rm+rm′r(m+m^{\prime})=rm+rm^{\prime}。

(2) (r+s)m=rm+sm(r+s)m=rm+sm。

(3) s(rm)=(sr)ms(rm)=(sr)m。

(4) 1m=m1m=m。

当RR在MM上的左作用确定后，我们称MM为左RR-模(left RR-module)。

注 这里，“乘以rr”可以理解为由某个环元素缩放。因此，一个模就是一个带有加法的集合，并附带一个由rr缩放的概念。

有一种更简洁的表达方式。上面所有内容等价于一个环同态R→End(M)R\to\mathrm{End}(M)。

一个右RR-模是一个Abel群MM，带有一个满足(1)-(4)类似条件的函数M×R→MM\times R\to M。

现在可能感觉数据量很大，因为我们同时涉及RR和MM。实际上，我们通常固定一个环RR，只研究不同MM之间的关系。

练习 设MM为左RR-模，则

0m=mand(−r)m=−(rm).0m=m\quad\text{and}\quad (-r)m=-(rm).

证明：为清晰起见，我们用0R0_{R}表示RR的零元。根据条件(2)，我们有

0Rm=(0R+0R)m=0Rm+0Rm0_{R}m=(0_{R}+0_{R})m=0_{R}m+0_{R}m

因此根据消去律，我们得到

0=0Rm0=0_{R}m

左边的00是MM的加法单位元。同样地，

rm+(−r)m=(r−r)m=0Rm=0.rm+(-r)m=(r-r)m=0_{R}m=0.
 □~\tag*{$\square$}

例 17.1 (a) 设R=RR=\mathbb{R}，M=RnM=\mathbb{R}^{n}，即nn维的实向量空间。那么我们定义一个函数

R×M→M,(t,v)↦tv⃗\begin{aligned} \mathbb{R}\times M&\to M,\\ (t,v)&\mapsto t\vec{v} \end{aligned}

即通过tt进行缩放。如果v⃗=(v1,…,vn)\vec{v}=(v_{1},\ldots,v_{n})，

tv⃗=(tv1,…,tvn).t\vec{v}=(tv_{1},\ldots,tv_{n}).

这满足上述所有性质。

(b) 任意环RR自身是其上的一个左模。

(c) 这是一个远离“缩放”概念的例子，更贴近“作用”这一概念。设R[t]\mathbb{R}[t]为变量tt上的实系数多项式环。选取一个m×mm\times m矩阵TT，我们将其视为一个线性映射T:Rm→RmT: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{m}。那么，Rm\mathbb{R}^{m}是一个左R[t]\mathbb{R}[t]-模，其作用定义为

(a0+a1t+⋯+aktk)v:=a0v+a1T(v)+⋯+ak(T∘⋯∘T)(v)(a_{0}+a_{1}t+\cdots+a_{k}t^{k})v:=a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots+a_{k}(T\circ\cdots\circ T)(v)

其中T∘⋯∘TT\circ \cdots\circ T表示TT复合kk次。

§17.2 子模

定义 17.2 设RR为一个环，MM为一个左RR-模。若MM的一个Abel子群M′⊂MM^{\prime}\subset M满足对于所有r∈Rr\in R，x∈M′x\in M^{\prime}时有rx∈M′rx\in M^{\prime}，则称M′M^{\prime}为MM的子模(submodule)。

例 17.2 (a) 若R=RR=\mathbb{R}且M=RnM=\mathbb{R}^{n}，则子模是闭合于加法、取逆及缩放的子集。这与Rn\mathbb{R}^{n}的线性子空间相同。

(b) 设RR为交换环，则I⊂RI\subset R是理想当且仅当II是RR的子模。

(c) 设M=RmM=\mathbb{R}^{m}为线性变换T:Rk→RkT: \mathbb{R}^{k}\to\mathbb{R}^{k}定义的R[t]\mathbb{R}[t]-模。那么，子模是一个线性子空间VV，满足T(V)⊂VT(V)\subset V。换言之，它是TT不变的子空间。

§17.3 模同态

定义 17.3 设MM和NN为左RR-模。则一个RR-模同态，或RR-模映射，是一个函数

f:M→N.f: M\to N.

使得ff是一个群同态，并且

f(rx)=rf(x)f(rx)=rf(x)

对于所有r∈Rr\in R, x∈Mx\in M。

定义 17.4 一个RR-模**同构(isomorphism)**是一个双射的同态。

定义 17.5 一个RR-模同态f:M→Nf: M\to N的核(kernel) 和像(image) 分别是ff作为群同态的核和像。

这意味着ker⁡(f)={x ∣ f(x)=0}\ker(f)=\{x~|~f(x)=0\}，im(f)={y∈N ∣ y=f(x),x∈M}\mathrm{im}(f)=\{y\in N~|~y=f(x), x\in M\}。

例 17.3 (a) 若M≅RnM\cong\mathbb{R}^{n}和N≅RmN\cong\mathbb{R}^{m}，具有R\mathbb{R}上的缩放模结构，则线性映射M→NM\to N是一个R\mathbb{R}-模同态。

(b) (没有从上面(b)来的明显的例子)

(c) 设M=RmM=\mathbb{R}^{m}为左模，定义由线性变换TT。令N=RnN=\mathbb{R}^{n}为线性变换S:Rn→RnS: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}定义的左模。则一个RR-模同态是一个线性映射

f:Rm→Rn.f: \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}.

具有性质

f(T(v))=S(f(v)).f(T(v))=S(f(v)).

定义 17.6 设MM和NN为左RR-模，则所有RR-模同态的集合记作

HomR(M,N).\mathrm{Hom}_{R}(M, N).

命题 17.1 HomR(M,N)\mathrm{Hom}_{R}(M, N)是一个左RR-模。

证明：标量乘法的定义：

对于r∈Rr \in R和f∈HomR(M,N)f \in \mathrm{Hom}_R(M, N)，定义标量乘法r⋅fr \cdot f为：

(r⋅f)(m)=rf(m),∀m∈M.(r \cdot f)(m) = r f(m), \quad \forall m \in M.

验证r⋅fr \cdot f是一个RR-模同态：

  1. 加法性：
(r⋅f)(m1+m2)=rf(m1+m2)=r[f(m1)+f(m2)]=rf(m1)+rf(m2)=(r⋅f)(m1)+(r⋅f)(m2). \begin{aligned} (r \cdot f)(m_1 + m_2) &= r f(m_1 + m_2) \\ &= r [f(m_1) + f(m_2)] \\ &= r f(m_1) + r f(m_2) \\ &= (r \cdot f)(m_1) + (r \cdot f)(m_2). \end{aligned}

因此，r⋅fr \cdot f是加法性的。

  1. 标量乘法的相容性：对于所有s∈Rs \in R和m∈Mm \in M，
(r⋅f)(sm)=rf(sm)=r[sf(m)]=s[rf(m)]=s(r⋅f)(m).\begin{align*} (r \cdot f)(s m) &= r f(s m) \\ &= r [s f(m)] \\ &= s [r f(m)] \tag{因为$R$是交换的} \\ &= s (r \cdot f)(m). \end{align*}

因此，r⋅fr \cdot f是RR-线性的。

验证模公理：

  1. 关于环加法的分配性：
((r+s)⋅f)(m)=(r+s)f(m)=rf(m)+sf(m)=(r⋅f+s⋅f)(m). \begin{aligned} ((r + s) \cdot f)(m) &= (r + s) f(m) \\ &= r f(m) + s f(m) \\ &= (r \cdot f + s \cdot f)(m). \end{aligned}
  1. 关于模加法的分配性：
(r⋅(f+g))(m)=r(f+g)(m)=r[f(m)+g(m)]=rf(m)+rg(m)=(r⋅f)(m)+(r⋅g)(m). \begin{aligned} (r \cdot (f + g))(m) &= r (f + g)(m) \\ &= r [f(m) + g(m)] \\ &= r f(m) + r g(m) \\ &= (r \cdot f)(m) + (r \cdot g)(m). \end{aligned}
  1. 标量乘法的结合性：
((rs)⋅f)(m)=(rs)f(m)=r(sf(m))=r⋅(s⋅f)(m). \begin{aligned} ((r s) \cdot f)(m) &= (r s) f(m) \\ &= r (s f(m)) \\ &= r \cdot (s \cdot f)(m). \end{aligned}
  1. 单位元：
(1R⋅f)(m)=1Rf(m)=f(m). (1_R \cdot f)(m) = 1_R f(m) = f(m).

结论：

由于满足所有模的公理，HomR(M,N)\mathrm{Hom}_R(M, N)在上述定义的标量乘法下是一个左RR-模。

 □~\tag*{$\square$}

§17.4 直和与自由模

定义 17.7 设MM和NN为左RR-模，则定义直和(direct sum)

M⊕NM\oplus N

等同于作为群的M×NM\times N，并具有RR-模结构

r(m,n):=(rm,rn).r(m,n):=(rm,rn).

命题 17.2 M⊕NM\oplus N是一个RR-模。

证明：我们已知M⊕NM\oplus N是一个Abel群。另一方面，

1(m,n):=(1m,1n)=(m,n)1(m,n):=(1m,1n)=(m,n)

因为MM和NN都是模。而且我们有

r((m,n)+(m′,n′))=r(m+m′,n+n′)=(r(m+m′),r(n+n′))=(rm+rm′,rn+rn′)=(rm,rn)+(rm′,rn′)=r(m,n)+r(m′,n′).\begin{align*} r((m,n)+(m^{\prime},n^{\prime}))&=r(m+m^{\prime},n+n^{\prime})\\ &=(r(m+m^{\prime}), r(n+n^{\prime}))\\ &=(rm+rm^{\prime},rn+rn^{\prime})\tag{3}\\ &=(rm,rn)+(rm^{\prime},rn^{\prime})\\ &=r(m,n)+r(m^{\prime},n^{\prime}). \end{align*}

其中(3)我们运用了MM和NN都是左RR-模的性质。

 □~\tag*{$\square$}

例 17.4 若R=RR=\mathbb{R}，且MM和NN也是R\mathbb{R}，作为其自身的模，那么

R⊕R≅R×R≅R2\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\cong\mathbb{R}\times\mathbb{R}\cong\mathbb{R}^{2}

作为群，我们有通常的缩放操作

r(x1,x2)=(rx1,rx2)。r(x_{1},x_{2})=(rx_{1},rx_{2})。

注 存在一个显然的同构

(M⊕N)⊕O≅M⊕(N⊕O),(m,n,o)↦(m,n,o).(M\oplus N)\oplus O\cong M\oplus(N\oplus O),\quad (m,n,o)\mapsto (m,n,o).

定义 17.8 设RR为一个环，则直和模

Rn:=R⊕⋯⊕RR^{n}:=R\oplus \cdots\oplus R

称为秩为nn的自由RR-模(free RR-module of rank nn)。

§17.5 自由模的泛性质

问题：为什么称之为自由RR-模？

命题 17.3 设MM是一个RR-模。则任意的元素nn元组x1,…,xn∈Mx_{1},\ldots,x_{n}\in M唯一地确定一个RR-模同态

X:Rn→MX: R^{n}\to M

定义为

(0,…,0,1,0,…,0)↦xi(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)\mapsto x_{i}

其中第ii个坐标为11。

注 这与具有nn个生成元的自由群的性质相同：任意一个群GG的元素nn元组唯一地确定从FnF_{n}到GG的映射。

证明：给定(x1,…,xn)(x_{1},\ldots,x_{n})，定义X:Rn→MX: R^{n}\to M为

X(a1,…,an):=a1x1+⋯+anxn∈M。X(a_{1},\ldots,a_{n}):=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}\in M。

这是一个群同态，因为

X((a1,…,an)+(b1,…,bn))=(a1+b1)x1+⋯+(an+bn)xn=(a1x1+⋯+anxx)+(b1x1+⋯+bnxn)=X(a1,…,an)+X(b1,…,bn).\begin{aligned} X((a_{1},\ldots,a_{n})+(b_{1},\ldots,b_{n}))&=(a_{1}+b_{1}) x_{1}+\cdots+(a_{n}+b_{n})x_{n}\\ &=(a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{x})+(b_{1}x_{1}+\cdots+b_{n}x_{n})\\ &=X(a_{1},\ldots,a_{n})+X(b_{1},\ldots,b_{n}). \end{aligned}

其中中间的等号使用了MM为RR-模的性质。这也是一个RR-模同态，因为

X(r(a1,…,an))=X((ra1,…,ran))=(ra1)x1+⋯+(ran)xn=r(a1x1+⋯+anxn)=rX((a1,…,an)).\begin{aligned} X(r(a_{1},\ldots,a_{n}))&=X((ra_{1},\ldots,ra_{n}))\\ &=(ra_{1})x_{1}+\cdots+(ra_{n})x_{n}\\ &=r(a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n})\\ &=rX((a_{1},\ldots,a_{n})). \end{aligned}

同样，倒数第二个等号使用了MM是RR-模的性质。

 □~\tag*{$\square$}

§17.6 0个生成元的自由模

练习 设MM为左RR-模，证明

r0M=0M,andr(−x)=−rx.r0_{M}=0_{M},\quad\text{and}\quad r(-x)=-rx.

证明：RR在MM上的作用等价于一个环同态R→End(M)R\to\mathrm{End}(M)。特别地，RR中的每个元素rr决定了一个Abel群同态。因此，以rr为倍数的缩放保留了MM的加法单位元和加法逆元。

如果你喜欢更计算化的证明，可以观察到

r0M+r0M=r(0M+0M)=r0M.r0_{M}+r0_{M}=r(0_{M}+0_{M})=r0_{M}.

因此根据Abel群的消去律，我们可以从两边减去r0Mr0_{M}得到

r0M=0M.r0_{M}=0_{M}.

因此

r(−x)+rx=r(−x+x)=r0M=0M,r(-x)+rx=r(-x+x)=r0_{M}=0_{M},

这表明r(−x)r(-x)是rxrx的加法逆元。

 □~\tag*{$\square$}

注 我们知道R⊕nR^{\oplus n}对于n⩾1n\geqslant 1的情况。但对于n=0n=0呢？

我们应该寻找一个RR-模R⊕0R^{\oplus 0}，使得存在一个双射

HomR(R⊕0,M)≅MapSets(∅,M).\mathrm{Hom}_{R}(R^{\oplus 0},M)\cong\mathrm{Map}_{\text{Sets}}(\varnothing,M).

但从空集到任意集合的函数唯一。因此我们必须寻找一个R⊕0R^{\oplus 0}的模，使得只有一个模同态到任意MM。唯一满足此性质的模是零模，即具有r0=0r0=0的平凡Abel群。