§14 环

§14.1 环的定义

定义 14.1 一个幺半群(monoid) 是一个没有逆元的群。也就是说，幺半群是一个集合 $M$ ，与之配合一个函数

\cdot: M\times M\to M

该函数具有单位元并且是结合的。我们称一个幺半群是交换的(commutative)，如果对所有 $a, b\in M$ ，有 $ab=ba$ 。

定义 14.2 一个结合环(associative ring) 是一个三元组 $(R,+, \cdot)$ ，其中 $R$ 是一个集合，且

(1) $+: R \times R \rightarrow R$ 是一个函数，使 $(R,+)$ 成为一个Abel群。我们称此运算为加法，其单位元为 $0$ 。

(2) $\cdot: R \times R \rightarrow R$ 是一个函数，使 $R$ 成为一个幺半群。我们称 $\cdot$ 运算为乘法，其单位元为 $1$ 。

(3) 最后，我们要求乘法对加法是分配的：这意味着对所有 $a, b, c \in R$ ，有

a(b+c)=a b+a c \quad \text{且} \quad(b+c) a=b a+c a

其中我们将 $a \cdot b$ 写作 $a b$ 。

我们通常只写 $R$ 表示环，而隐去运算 $+$ 和 $\cdot$ 。

定义 14.3 如果 $(R, \cdot)$ 是一个abel幺半群，我们称 $R$ 为交换环(commutative ring)。

在讨论群时，我很快证明了消去律，因为它是有用的知识。这里是另一个有用的知识：

命题 14.1 设 $R$ 是一个结合环， $0$ 是 $R$ 的加法单位元。那么

0\cdot a=a\cdot 0=0

对所有 $a\in R$ 成立。

证明：

\begin{align*} 0\cdot a&=(0+0)\cdot a\tag{因为$0+0=0$}\\ &=0\cdot a+0\cdot a\tag{分配律} \end{align*}

利用Abel群的消去律，我们可以从等式的两边减去 $0\cdot a$ 。剩下 $0=0\cdot a$ 。类似地， $a\cdot 0=0$ 。

~\tag*{$\square$}

注我们不会深入探讨原因，但环的行为在它们是否交换方面有着极大的不同。

§14.2 交换环的例子

例 14.1 考虑三元组 $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ 。这使得 $(\mathbb{Z},+)$ 成为阿贝尔群，而 $(\mathbb{Z},\cdot)$ 显然是一个幺半群——乘法有一个称为 $1$ 的单位元并且是结合的。分配律是你熟悉的分配律。

例 14.2 使用通常的加法和乘法，三元组 $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ 是一个环。对于 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 及其通常的乘法也是如此。这些是特殊类型的环，因为 $R-\{0\}$ 中的任一元素在乘法下都有逆元。

例 14.3 (多项式环) 令 $\mathbb{Z}[x]$ 表示系数为整数的 $x$ 的多项式的集合。因此，一个元素是一个表达式

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}

其中对于大于某个有限 $n$ 的所有 $i$ ， $a_{i}=0$ 。例如，以下是 $\mathbb{Z}[x]$ 中的元素：

0, 5, 3+x-5x^{4}, x。

在第三个例子中， $a_{0}=3$ ， $a_{1}=1$ ， $a_{2}=0$ ， $a_{3}=0$ ， $a_{4}=-5$ 。

设 $q(x)$ 是一个系数为 $b_{i}$ 的多项式。多项式的加法定义如下

p(x)+q(x):=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(a_{i}+b_{i})x^{i}。

注意，因为对于大于 $n$ 的 $i$ ， $a_{i}=0$ ，且对于大于某个 $m$ 的所有 $i$ ， $b_{i}=0$ ，因此和确实是一个多项式，因为 $(a_{i}+b_{i})=0$ 对于所有大于 $\max(m,n)$ 的 $i$ 成立。

两个多项式的积定义为通常的方式

\begin{aligned} p(x)\cdot q(x)&=(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m})\\ &=a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+\cdots+a_{n}b_{m}x^{n+m}\\ &=\sum\limits_{k\geqslant 0}\left(\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}. \end{aligned}

命题 14.2 $\mathbb{Z}[x]$ 是一个交换环。更一般地说，如果 $R$ 是一个交换环，那么系数在 $R$ 中的多项式集合 $R[x]$ 是一个交换环。

证明：

$R[x]$ 是一个环，因为

(1) 加法是封闭的：对于 $R[x]$ 中的两个多项式 $p(x)$ 和 $q(x)$ ，它们的和 $p(x)+q(x)$ 是一个多项式，其系数为 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的相应系数之和。由于 $R$ 是交换环并在加法下封闭，因此该运算在 $R[x]$ 中是良定义的。

(2) 乘法是封闭的：对于两个多项式 $p(x)$ 和 $q(x)$ ，它们的积 $p(x)\cdot q(x)$ 表示为

p(x)\cdot q(x)=\left(\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}\right)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k}

其中系数 $c_{k}$ 计算为

c_{k}=\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}。

因为 $R$ 在乘法下封闭，所以系数 $c_{k}$ 是 $R$ 的元素，因此积是 $R[x]$ 中的多项式。

(3) 加法是结合且交换的： $R[x]$ 中的多项式加法是结合且交换的，因为 $R$ 中的加法是结合且交换的，并且对各个系数的操作遵循 $R$ 的性质。

(4) 乘法是结合的： $R[x]$ 中的多项式乘法是结合的，因为分配律成立，且 $R$ 中的乘法是结合的。因此对于 $R[x]$ 中的多项式 $p(x), q(x)$ 和 $r(x)$ ，有

(p(x)\cdot q(x))\cdot r(x)=p(x)\cdot(q(x)\cdot r(x)).

(5) 分配律：乘法对加法是分配的，因为对于 $R[x]$ 中的多项式 $p(x), q(x)$ 和 $r(x)$ ，有

p(x)\cdot(q(x)+r(x))=p(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot r(x).

这是因为分配律适用于 $R$ 中的个别系数。

乘法的交换性：对于任何多项式 $p(x), q(x)\in R[x]$ ，有

p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x)。

这是因为 $R$ 中的乘法是交换的。特别地，如果 $p(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ 且 $q(x)=\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$ ，则积为

p(x)\cdot q(x)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}x^{k}.

由于 $R$ 中的乘法是交换的，有 $a_{i}b_{j}=b_{j}a_{i}$ ，因此

p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x).

~\tag*{$\square$}

例 14.4 (光滑函数) 这是一个更难写出集合中所有元素的例子。令 $C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ 表示从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有无穷可微函数的集合。给定两个函数 $f$ 和 $g$ ，定义它们的和 $f+g$ 为一个函数，该函数将 $x\in\mathbb{R}^{n}$ 映射到 $f(x)+g(x)$ ，其中加法发生在 $\mathbb{R}$ 中。它们的乘积 $fg$ 是一个将 $x\in\mathbb{R}^{n}$ 映射到 $f(x)\cdot g(x)\in\mathbb{R}$ 的函数。这也是一个环。

§14.3 环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

我们已经看到了三个我们熟悉的环的例子。它们都是无限的。现在来看一些有限的例子。

引理 14.3 令 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 为整数模 $n$ 的集合。函数

\cdot: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\qquad \overline{a}\cdot\overline{b}:=\overline{a\cdot b}

是良定义的。

注我们用 $\overline{a}$ 表示与 $a\in\mathbb{Z}$ 相关联的等价类。这里， $a\cdot b$ 是整数的通常乘法，而 $\overline{a\cdot b}$ 表示模 $n$ 的等价类。

证明：我们需要证明，如果 $\overline{a}=\overline{a}^{\prime}$ 且 $\overline{b}=\overline{b}^{\prime}$ ，那么

\overline{a\cdot b}=\overline{a^{\prime}\cdot b^{\prime}}。

因为 $a=a^{\prime}$ 模 $n$ 当且仅当 $a=a^{\prime}+An$ （其中 $A$ 是整数）。同样， $b=b^{\prime}+Bn$ 对于某个 $B$ 。因此

ab=(a^{\prime}+An)(b^{\prime}+Bn)=a^{\prime}b^{\prime}+(a^{\prime}B+Ab^{\prime}+AB)n

因此 $ab$ 等于 $a^{\prime}b^{\prime}$ 模 $n$ 。

~\tag*{$\square$}

推论 14.4 令 $+$ 为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的通常加法， $\cdot$ 为上述运算。那么

(1) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ 是一个单位元为 $\overline{0}$ 的Abel群。

(2) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\cdot)$ 是一个单位元为 $\overline{1}$ 的Abel幺半群。

(3) 运算 $\cdot$ 对 $+$ 是分配的。

证明：(1) 是我们早已证明的结论。

(2) 为了证明结合性，注意到

\begin{aligned} (\overline{a}\cdot\overline{b})\cdot\overline{c}&=\overline{a\cdot b}\cdot\overline{c}\\ &=\overline{(a\cdot b)\cdot c}\\ &=\overline{a\cdot(b\cdot c)}\\ &=\overline{a}\cdot\overline{b\cdot c}\\ &=\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}).\tag{14.1} \end{aligned}

除(14.1)外，每一行都是基于 $\cdot$ 的定义，而(14.1)使用了整数乘法的结合性。交换性成立是因为

\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{a\cdot b}=\overline{b\cdot a}=\overline{b}\cdot\overline{a}。

注意中间等号只是整数乘法的交换性。单位元是 $1$ ，因为 $\overline{a}\cdot\overline{1}=\overline{a\cdot 1}=\overline{a}$ 。

(3) 分配律成立是因为

\begin{aligned} \overline{a}\cdot(\overline{b}+\overline{c})&=\overline{a}\cdot\overline{b+c}\\ &=\overline{a\cdot(b+c)}\\ &=\overline{ab+ac}\\ &=\overline{ab}+\overline{ac}\\ &=\overline{a}\cdot\overline{b}+\overline{a}\cdot\overline{c}.\tag{14.2} \end{aligned}

除了(14.2)，其他各行均基于定义，而(14.2)使用了通常整数的分配律。

~\tag*{$\square$}

§14.4 交换环的动机

现代数学中有一种哲学认为，可以通过研究空间上的函数集的性质来推断空间本身的性质。例如，通过研究空间 $X$ 上的多项式函数集，可以推断出空间 $X$ 的某些性质。实际上，所有函数集始终是一个交换环。这些环的性质决定了空间 $X$ 的某些特性。这并不是显而易见的，其中一些最有意义的相关发展直到19世纪80年代才出现——也就是在Descartes首先注意到代数方程可以描述具体几何近两百年后。因此，如果你认为代数（从伊斯兰黄金时期的800年代开始）和几何（源自希腊人）在Descartes将其结合起来之前经过了近千年，而我们又花了两百年才系统地理解环是研究几何的有力工具，你可能会意识到自己正在接触一些非常深刻的思想。我们无法深入探讨利用环研究几何的理论——但是如果你感兴趣，可以查阅一些关于交换代数和代数几何的资料。

§14.5 非交换环的例子

例 14.5 (矩阵环) 确定一个整数 $n\geqslant 0$ ，考虑所有元素为 $\mathbb{R}$ 的 $n\times n$ 矩阵的集合 $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ 。你可以对矩阵进行加法和乘法运算，并且矩阵乘法对加法是分配的。因此 $M_{n\times n}(\mathbb{R})$ 是一个环。为了明确分配律，考虑三个矩阵 $A, B, C$ ，其元素为 $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ 。则 $A(B+C)$ 的 $ij$ 项为

\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}

但这个右侧是 $AB+AC$ 的 $ij$ 项。你也可以类似地证明 $(B+C)A=BA+CA$ 。

例 14.6 (群环) 设 $G$ 是有限群， $R$ 是一个交换环。那么 $R[G]$ 作为一个集合，是从 $G$ 到 $R$ 的所有函数的集合。（因此每个元素 $g\in G$ 都对应一个 $R$ 中的元素 $r_{g}$ 。）我们用求和表示这样的一个函数：

\sum\limits_{g\in G}r_{g}g。

例如，下面是 $\mathbb{Z}[S_{3}]$ 的一个元素：

5(~)+3(12)-8(123)。

加法是显然的——我们仅对每一项相加，因此

\left(\sum r_{g}g\right)+\sum\left(s_{g}g\right)=\sum\limits_{g\in G}(r_{g}+s_{g})g。

即，这是函数的加法。乘法不仅仅是函数的乘法。 $\sum r_{g} g$ 和 $\sum s_{g} g$ 的乘积在 $g$ 的系数由以下公式给出

\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g}r_{g_{1}}s_{g_{2}}.

换句话说，

\left(\sum\limits_{g\in G}r_{g}g\right)\left(\sum\limits_{h\in G}s_{h}h\right)=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{h\in G}r_{g}s_{h}(gh)=\sum\limits_{k\in G}\left(\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g} r_{g}s_{h}\right)k.

注意，这种乘法不是交换的。

§14.6 环同态

定义 14.4 设 $R$ 和 $S$ 是环，且 $f: R\to S$ 是一个函数。我们称 $f$ 为一个环同态(ring homomorphism)，如果

(1) $f$ 是加法的群同态，

(2) $f(1)=1$ （即 $f$ 将 $R$ 的乘法单位元映射到 $S$ 的单位元），并且

(3) 对所有 $a,b\in R$ 有 $f(ab)=f(a)f(b)$ 。

定义 14.5 如果 $f$ 是一个双射，我们称 $f$ 是一个同构(isomorphism)。

现在我想进一步说明为什么 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是一个环。我们如何证明它是一个群的？通过应用一个普遍原则：如果 $H\triangleleft G$ ，那么 $G/H$ 是一个群。

我想对环做同样的事情。但在这个上下文中，当我们说到环时，我们将意味着一个交换环。

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